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Theorem tsmsxplem2 21957
Description: Lemma for tsmsxp 21958. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b |- B = ( Base ` G )
tsmsxp.g |- ( ph -> G e. CMnd )
tsmsxp.2 |- ( ph -> G e. TopGrp )
tsmsxp.a |- ( ph -> A e. V )
tsmsxp.c |- ( ph -> C e. W )
tsmsxp.f |- ( ph -> F : ( A X. C ) --> B )
tsmsxp.h |- ( ph -> H : A --> B )
tsmsxp.1 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( H ` j ) e. ( G tsums ( k e. C |-> ( j F k ) ) ) )
tsmsxp.j |- J = ( TopOpen ` G )
tsmsxp.z |- .0. = ( 0g ` G )
tsmsxp.p |- .+ = ( +g ` G )
tsmsxp.m |- .- = ( -g ` G )
tsmsxp.l |- ( ph -> L e. J )
tsmsxp.3 |- ( ph -> .0. e. L )
tsmsxp.k |- ( ph -> K e. ( ~P A i^i Fin ) )
tsmsxp.4 |- ( ph -> A. c e. S A. d e. T ( c .+ d ) e. U )
tsmsxp.n |- ( ph -> N e. ( ~P C i^i Fin ) )
tsmsxp.s |- ( ph -> D C_ ( K X. N ) )
tsmsxp.x |- ( ph -> A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. N ) ) ) ) e. L )
tsmsxp.5 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) e. S )
tsmsxp.6 |- ( ph -> A. g e. ( L ^m K ) ( G gsumg g ) e. T )
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2 |- ( ph -> ( G gsumg ( H |` K ) ) e. U )
Distinct variable groups:   g, k, .0.   c, d, g, j, k, x, G   B, g, k   D, g, j, k, x   g, L, j, x   A, g, j, k   K, c, d, g, j, k, x   S, c   H, d, g, j, k, x   N, c, d, g, x   U, c, d   .- , d, g, j, x   C, g, j, k   T, c, d, g   .+ , c, d, g   F, c, d, g, j, k, x   ph, g, j, k
Allowed substitution hints:   ph( x, c, d)   A( x, c, d)   B( x, j, c, d)   C( x, c, d)   D( c, d)   .+ ( x, j, k)   S( x, g, j, k, d)   T( x, j, k)   U( x, g, j, k)   H( c)   J( x, g, j, k, c, d)   L( k, c, d)   .- ( k, c)   N( j, k)   V( x, g, j, k, c, d)   W( x, g, j, k, c, d)   .0. ( x, j, c, d)
Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5 |- ( ph -> G e. TopGrp )
2 tgpgrp 21882 . . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
31, 2syl 17 . . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
4 tsmsxp.g . . . 4 |- ( ph -> G e. CMnd )
5 isabl 18197 . . . 4 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
63, 4, 5sylanbrc 698 . . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
7 tsmsxp.b . . . 4 |- B = ( Base ` G )
8 tsmsxp.z . . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
9 tsmsxp.k . . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( ~P A i^i Fin ) )
10 elfpw 8268 . . . . . . 7 |- ( K e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( K C_ A /\ K e. Fin ) )
1110simprbi 480 . . . . . 6 |- ( K e. ( ~P A i^i Fin ) -> K e. Fin )
129, 11syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> K e. Fin )
13 tsmsxp.n . . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ~P C i^i Fin ) )
14 elfpw 8268 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( N C_ C /\ N e. Fin ) )
1514simprbi 480 . . . . . 6 |- ( N e. ( ~P C i^i Fin ) -> N e. Fin )
1613, 15syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> N e. Fin )
17 xpfi 8231 . . . . 5 |- ( ( K e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( K X. N ) e. Fin )
1812, 16, 17syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( K X. N ) e. Fin )
19 tsmsxp.f . . . . 5 |- ( ph -> F : ( A X. C ) --> B )
2010simplbi 476 . . . . . . 7 |- ( K e. ( ~P A i^i Fin ) -> K C_ A )
219, 20syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> K C_ A )
2214simplbi 476 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ~P C i^i Fin ) -> N C_ C )
2313, 22syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> N C_ C )
24 xpss12 5225 . . . . . 6 |- ( ( K C_ A /\ N C_ C ) -> ( K X. N ) C_ ( A X. C ) )
2521, 23, 24syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ph -> ( K X. N ) C_ ( A X. C ) )
2619, 25fssresd 6071 . . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( K X. N ) ) : ( K X. N ) --> B )
27 tsmsxp.3 . . . . 5 |- ( ph -> .0. e. L )
2826, 18, 27fdmfifsupp 8285 . . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( K X. N ) ) finSupp .0. )
297, 8, 4, 18, 26, 28gsumcl 18316 . . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) e. B )
30 tsmsxp.h . . . . 5 |- ( ph -> H : A --> B )
3130, 21fssresd 6071 . . . 4 |- ( ph -> ( H |` K ) : K --> B )
3231, 12, 27fdmfifsupp 8285 . . . 4 |- ( ph -> ( H |` K ) finSupp .0. )
337, 8, 4, 12, 31, 32gsumcl 18316 . . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( H |` K ) ) e. B )
34 tsmsxp.p . . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
35 tsmsxp.m . . . 4 |- .- = ( -g ` G )
367, 34, 35ablpncan3 18222 . . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) e. B /\ ( G gsumg ( H |` K ) ) e. B ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) .+ ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( H |` K ) ) )
376, 29, 33, 36syl12anc 1324 . 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) .+ ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( H |` K ) ) )
38 tsmsxp.5 . . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) e. S )
394adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> G e. CMnd )
40 snfi 8038 . . . . . . . . 9 |- { y } e. Fin
4116adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> N e. Fin )
42 xpfi 8231 . . . . . . . . 9 |- ( ( { y } e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( { y } X. N ) e. Fin )
4340, 41, 42sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( { y } X. N ) e. Fin )
4419adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> F : ( A X. C ) --> B )
4521sselda 3603 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> y e. A )
4645snssd 4340 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> { y } C_ A )
4723adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> N C_ C )
48 xpss12 5225 . . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } C_ A /\ N C_ C ) -> ( { y } X. N ) C_ ( A X. C ) )
4946, 47, 48syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( { y } X. N ) C_ ( A X. C ) )
5044, 49fssresd 6071 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( F |` ( { y } X. N ) ) : ( { y } X. N ) --> B )
51 fvex 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` G ) e. _V
528, 51eqeltri 2697 . . . . . . . . . 10 |- .0. e. _V
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> .0. e. _V )
5450, 43, 53fdmfifsupp 8285 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( F |` ( { y } X. N ) ) finSupp .0. )
557, 8, 39, 43, 50, 54gsumcl 18316 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) e. B )
56 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) = ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) )
5755, 56fmptd 6385 . . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) : K --> B )
58 ovexd 6680 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) e. _V )
5956, 12, 58, 27fsuppmptdm 8286 . . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) finSupp .0. )
607, 8, 35, 6, 12, 31, 57, 32, 59gsumsub 18348 . . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( H |` K ) oF .- ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) ) )
61 fvexd 6203 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( H ` y ) e. _V )
6230, 21feqresmpt 6250 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( H |` K ) = ( y e. K |-> ( H ` y ) ) )
63 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) = ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) )
6412, 61, 58, 62, 63offval2 6914 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( H |` K ) oF .- ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) = ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) )
6564oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( H |` K ) oF .- ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) ) )
66 cmnmnd 18208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
6739, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> G e. Mnd )
68 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> y e. K )
6944adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. K ) /\ z e. N ) -> F : ( A X. C ) --> B )
7045adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. K ) /\ z e. N ) -> y e. A )
7147sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. K ) /\ z e. N ) -> z e. C )
7269, 70, 71fovrnd 6806 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. K ) /\ z e. N ) -> ( y F z ) e. B )
73 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N |-> ( y F z ) ) = ( z e. N |-> ( y F z ) )
7472, 73fmptd 6385 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( z e. N |-> ( y F z ) ) : N --> B )
75 ovexd 6680 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. K ) /\ z e. N ) -> ( y F z ) e. _V )
7673, 41, 75, 53fsuppmptdm 8286 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( z e. N |-> ( y F z ) ) finSupp .0. )
777, 8, 39, 41, 74, 76gsumcl 18316 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( G gsumg ( z e. N |-> ( y F z ) ) ) e. B )
78 velsn 4193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { y } <-> w = y )
79 ovres 6800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. { y } /\ z e. N ) -> ( w ( F |` ( { y } X. N ) ) z ) = ( w F z ) )
8078, 79sylanbr 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w = y /\ z e. N ) -> ( w ( F |` ( { y } X. N ) ) z ) = ( w F z ) )
81 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = y -> ( w F z ) = ( y F z ) )
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w = y /\ z e. N ) -> ( w F z ) = ( y F z ) )
8380, 82eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w = y /\ z e. N ) -> ( w ( F |` ( { y } X. N ) ) z ) = ( y F z ) )
8483mpteq2dva 4744 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = y -> ( z e. N |-> ( w ( F |` ( { y } X. N ) ) z ) ) = ( z e. N |-> ( y F z ) ) )
8584oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> ( G gsumg ( z e. N |-> ( w ( F |` ( { y } X. N ) ) z ) ) ) = ( G gsumg ( z e. N |-> ( y F z ) ) ) )
867, 85gsumsn 18354 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ y e. K /\ ( G gsumg ( z e. N |-> ( y F z ) ) ) e. B ) -> ( G gsumg ( w e. { y } |-> ( G gsumg ( z e. N |-> ( w ( F |` ( { y } X. N ) ) z ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( z e. N |-> ( y F z ) ) ) )
8767, 68, 77, 86syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( G gsumg ( w e. { y } |-> ( G gsumg ( z e. N |-> ( w ( F |` ( { y } X. N ) ) z ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( z e. N |-> ( y F z ) ) ) )
8840a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> { y } e. Fin )
897, 8, 39, 88, 41, 50, 54gsumxp 18375 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) = ( G gsumg ( w e. { y } |-> ( G gsumg ( z e. N |-> ( w ( F |` ( { y } X. N ) ) z ) ) ) ) ) )
90 ovres 6800 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. K /\ z e. N ) -> ( y ( F |` ( K X. N ) ) z ) = ( y F z ) )
9190adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. K ) /\ z e. N ) -> ( y ( F |` ( K X. N ) ) z ) = ( y F z ) )
9291mpteq2dva 4744 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( z e. N |-> ( y ( F |` ( K X. N ) ) z ) ) = ( z e. N |-> ( y F z ) ) )
9392oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( G gsumg ( z e. N |-> ( y ( F |` ( K X. N ) ) z ) ) ) = ( G gsumg ( z e. N |-> ( y F z ) ) ) )
9487, 89, 933eqtr4d 2666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) = ( G gsumg ( z e. N |-> ( y ( F |` ( K X. N ) ) z ) ) ) )
9594mpteq2dva 4744 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) = ( y e. K |-> ( G gsumg ( z e. N |-> ( y ( F |` ( K X. N ) ) z ) ) ) ) )
9695oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( y e. K |-> ( G gsumg ( z e. N |-> ( y ( F |` ( K X. N ) ) z ) ) ) ) ) )
977, 8, 4, 12, 16, 26, 28gsumxp 18375 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) = ( G gsumg ( y e. K |-> ( G gsumg ( z e. N |-> ( y ( F |` ( K X. N ) ) z ) ) ) ) ) )
9896, 97eqtr4d 2659 . . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) )
9998oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( y e. K |-> ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) )
10060, 65, 993eqtr3d 2664 . . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) )
101 tsmsxp.x . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. N ) ) ) ) e. L )
102 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( H ` x ) = ( H ` y ) )
103 sneq 4187 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> { x } = { y } )
104103xpeq1d 5138 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( { x } X. N ) = ( { y } X. N ) )
105104reseq2d 5396 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( F |` ( { x } X. N ) ) = ( F |` ( { y } X. N ) ) )
106105oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( G gsumg ( F |` ( { x } X. N ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) )
107102, 106oveq12d 6668 . . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. N ) ) ) ) = ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) )
108107eleq1d 2686 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. N ) ) ) ) e. L <-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) e. L ) )
109108rspccva 3308 . . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. N ) ) ) ) e. L /\ y e. K ) -> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) e. L )
110101, 109sylan 488 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) e. L )
111 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) = ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) )
112110, 111fmptd 6385 . . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) : K --> L )
113 tsmsxp.l . . . . . . 7 |- ( ph -> L e. J )
114113, 9elmapd 7871 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) e. ( L ^m K ) <-> ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) : K --> L ) )
115112, 114mpbird 247 . . . . 5 |- ( ph -> ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) e. ( L ^m K ) )
116 tsmsxp.6 . . . . 5 |- ( ph -> A. g e. ( L ^m K ) ( G gsumg g ) e. T )
117 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( g = ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) -> ( G gsumg g ) = ( G gsumg ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) ) )
118117eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( g = ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) -> ( ( G gsumg g ) e. T <-> ( G gsumg ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) ) e. T ) )
119118rspcv 3305 . . . . 5 |- ( ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) e. ( L ^m K ) -> ( A. g e. ( L ^m K ) ( G gsumg g ) e. T -> ( G gsumg ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) ) e. T ) )
120115, 116, 119sylc 65 . . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( y e. K |-> ( ( H ` y ) .- ( G gsumg ( F |` ( { y } X. N ) ) ) ) ) ) e. T )
121100, 120eqeltrrd 2702 . . 3 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) e. T )
122 tsmsxp.4 . . 3 |- ( ph -> A. c e. S A. d e. T ( c .+ d ) e. U )
123 oveq1 6657 . . . . 5 |- ( c = ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) -> ( c .+ d ) = ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) .+ d ) )
124123eleq1d 2686 . . . 4 |- ( c = ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) -> ( ( c .+ d ) e. U <-> ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) .+ d ) e. U ) )
125 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( d = ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) .+ d ) = ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) .+ ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) ) )
126125eleq1d 2686 . . . 4 |- ( d = ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) -> ( ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) .+ d ) e. U <-> ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) .+ ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) ) e. U ) )
127124, 126rspc2va 3323 . . 3 |- ( ( ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) e. S /\ ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) e. T ) /\ A. c e. S A. d e. T ( c .+ d ) e. U ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) .+ ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) ) e. U )
12838, 121, 122, 127syl21anc 1325 . 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) .+ ( ( G gsumg ( H |` K ) ) .- ( G gsumg ( F |` ( K X. N ) ) ) ) ) e. U )
12937, 128eqeltrrd 2702 1 |- ( ph -> ( G gsumg ( H |` K ) ) e. U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  CMndccmn 18193   Abelcabl 18194   TopGrpctgp 21875   tsums ctsu 21929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-tgp 21877
This theorem is referenced by:  tsmsxp  21958
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