Theorem 3nn 11186

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	|- 3 e. NN

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 11080	. 2 |- 3 = ( 2 + 1 )
2		2nn 11185	. . 3 |- 2 e. NN
3		peano2nn 11032	. . 3 |- ( 2 e. NN -> ( 2 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 2 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2697	1 |- 3 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080

This theorem is referenced by:  4nn  11187  3nn0  11310  3z  11410  ige3m2fz  12365  f1oun2prg  13662  sqrlem7  13989  bpoly4  14790  fsumcube  14791  ef01bndlem  14914  sin01bnd  14915  egt2lt3  14934  rpnnen2lem2  14944  rpnnen2lem3  14945  rpnnen2lem4  14946  rpnnen2lem9  14951  rpnnen2lem11  14953  3lcm2e6woprm  15328  3lcm2e6  15440  prmo3  15745  5prm  15815  6nprm  15816  7prm  15817  9nprm  15819  11prm  15822  13prm  15823  17prm  15824  19prm  15825  23prm  15826  prmlem2  15827  37prm  15828  43prm  15829  83prm  15830  139prm  15831  163prm  15832  317prm  15833  631prm  15834  1259lem5  15842  2503lem1  15844  2503lem2  15845  2503lem3  15846  4001lem4  15851  4001prm  15852  mulrndx  15996  mulrid  15997  rngstr  16000  ressmulr  16006  unifndx  16064  unifid  16065  lt6abl  18296  sramulr  19180  opsrmulr  19481  cnfldstr  19748  cnfldfun  19758  zlmmulr  19868  znmul  19890  ressunif  22066  tuslem  22071  tngmulr  22448  vitalilem4  23380  tangtx  24257  1cubrlem  24568  1cubr  24569  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  dcubic  24573  mcubic  24574  cubic2  24575  cubic  24576  quartlem3  24586  quart  24588  log2cnv  24671  log2tlbnd  24672  log2ublem1  24673  log2ublem2  24674  log2ub  24676  ppiublem1  24927  ppiub  24929  chtub  24937  bposlem3  25011  bposlem4  25012  bposlem5  25013  bposlem6  25014  bposlem9  25017  lgsdir2lem5  25054  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumlema  25189  pntibndlem1  25278  pntibndlem2  25280  pntlema  25285  pntlemb  25286  pntleml  25300  tgcgr4  25426  axlowdimlem16  25837  axlowdimlem17  25838  usgrexmpldifpr  26150  upgr3v3e3cycl  27040  ex-cnv  27294  ex-rn  27297  ex-mod  27306  resvmulr  29835  fib4  30466  circlevma  30720  circlemethhgt  30721  hgt750lema  30735  sinccvglem  31566  cnndvlem1  32528  mblfinlem3  33448  itg2addnclem2  33462  itg2addnclem3  33463  itg2addnc  33464  hlhilsmul  37233  rmydioph  37581  rmxdioph  37583  expdiophlem2  37589  expdioph  37590  amgm3d  38502  lhe4.4ex1a  38528  257prm  41473  fmtno4prmfac193  41485  fmtno4nprmfac193  41486  3ndvds4  41510  139prmALT  41511  31prm  41512  127prm  41515  41prothprm  41536  wtgoldbnnsum4prm  41690  bgoldbnnsum3prm  41692  bgoldbtbndlem1  41693  tgoldbach  41705  tgoldbachOLD  41712