Theorem htpyco2 22778

Description: Compose a homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyco2.f	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
htpyco2.g	|- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
htpyco2.p	|- ( ph -> P e. ( K Cn L ) )
htpyco2.h	|- ( ph -> H e. ( F ( J Htpy K ) G ) )

Assertion

Ref	Expression
htpyco2	|- ( ph -> ( P o. H ) e. ( ( P o. F ) ( J Htpy L ) ( P o. G ) ) )

Proof of Theorem htpyco2

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyco2.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
2		cntop1 21044	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> J e. Top )
4		eqid 2622	. . . 4 |- U. J = U. J
5	4	toptopon 20722	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
6	3, 5	sylib 208	. 2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
7		htpyco2.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ( K Cn L ) )
8		cnco 21070	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ P e. ( K Cn L ) ) -> ( P o. F ) e. ( J Cn L ) )
9	1, 7, 8	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( P o. F ) e. ( J Cn L ) )
10		htpyco2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. ( J Cn K ) )
11		cnco 21070	. . 3 |- ( ( G e. ( J Cn K ) /\ P e. ( K Cn L ) ) -> ( P o. G ) e. ( J Cn L ) )
12	10, 7, 11	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( P o. G ) e. ( J Cn L ) )
13	6, 1, 10	htpycn 22772	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( J Htpy K ) G ) C_ ( ( J tX II ) Cn K ) )
14		htpyco2.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. ( F ( J Htpy K ) G ) )
15	13, 14	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> H e. ( ( J tX II ) Cn K ) )
16		cnco 21070	. . 3 |- ( ( H e. ( ( J tX II ) Cn K ) /\ P e. ( K Cn L ) ) -> ( P o. H ) e. ( ( J tX II ) Cn L ) )
17	15, 7, 16	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( P o. H ) e. ( ( J tX II ) Cn L ) )
18	6, 1, 10, 14	htpyi 22773	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( ( s H 0 ) = ( F ` s ) /\ ( s H 1 ) = ( G ` s ) ) )
19	18	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( s H 0 ) = ( F ` s ) )
20	19	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( P ` ( s H 0 ) ) = ( P ` ( F ` s ) ) )
21		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> s e. U. J )
22		0elunit 12290	. . . . . 6 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
23		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( s e. U. J /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. s , 0 >. e. ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) )
24	21, 22, 23	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> <. s , 0 >. e. ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) )
25		iitopon 22682	. . . . . . . 8 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
26		txtopon 21394	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( J tX II ) e. (TopOn ` ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) ) )
27	6, 25, 26	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J tX II ) e. (TopOn ` ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) ) )
28		cntop2 21045	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Top )
30		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. K = U. K
31	30	toptopon 20722	. . . . . . . 8 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
32	29, 31	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
33		cnf2 21053	. . . . . . 7 |- ( ( ( J tX II ) e. (TopOn ` ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ H e. ( ( J tX II ) Cn K ) ) -> H : ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. K )
34	27, 32, 15, 33	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> H : ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. K )
35		fvco3 6275	. . . . . 6 |- ( ( H : ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. K /\ <. s , 0 >. e. ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( P o. H ) ` <. s , 0 >. ) = ( P ` ( H ` <. s , 0 >. ) ) )
36	34, 35	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ <. s , 0 >. e. ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( P o. H ) ` <. s , 0 >. ) = ( P ` ( H ` <. s , 0 >. ) ) )
37	24, 36	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( ( P o. H ) ` <. s , 0 >. ) = ( P ` ( H ` <. s , 0 >. ) ) )
38		df-ov 6653	. . . 4 |- ( s ( P o. H ) 0 ) = ( ( P o. H ) ` <. s , 0 >. )
39		df-ov 6653	. . . . 5 |- ( s H 0 ) = ( H ` <. s , 0 >. )
40	39	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( P ` ( s H 0 ) ) = ( P ` ( H ` <. s , 0 >. ) )
41	37, 38, 40	3eqtr4g 2681	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( s ( P o. H ) 0 ) = ( P ` ( s H 0 ) ) )
42	4, 30	cnf 21050	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
43	1, 42	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F : U. J --> U. K )
44		fvco3 6275	. . . 4 |- ( ( F : U. J --> U. K /\ s e. U. J ) -> ( ( P o. F ) ` s ) = ( P ` ( F ` s ) ) )
45	43, 44	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( ( P o. F ) ` s ) = ( P ` ( F ` s ) ) )
46	20, 41, 45	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( s ( P o. H ) 0 ) = ( ( P o. F ) ` s ) )
47	18	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( s H 1 ) = ( G ` s ) )
48	47	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( P ` ( s H 1 ) ) = ( P ` ( G ` s ) ) )
49		1elunit 12291	. . . . . 6 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
50		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( s e. U. J /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. s , 1 >. e. ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) )
51	21, 49, 50	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> <. s , 1 >. e. ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) )
52		fvco3 6275	. . . . . 6 |- ( ( H : ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. K /\ <. s , 1 >. e. ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( P o. H ) ` <. s , 1 >. ) = ( P ` ( H ` <. s , 1 >. ) ) )
53	34, 52	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ <. s , 1 >. e. ( U. J X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( P o. H ) ` <. s , 1 >. ) = ( P ` ( H ` <. s , 1 >. ) ) )
54	51, 53	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( ( P o. H ) ` <. s , 1 >. ) = ( P ` ( H ` <. s , 1 >. ) ) )
55		df-ov 6653	. . . 4 |- ( s ( P o. H ) 1 ) = ( ( P o. H ) ` <. s , 1 >. )
56		df-ov 6653	. . . . 5 |- ( s H 1 ) = ( H ` <. s , 1 >. )
57	56	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( P ` ( s H 1 ) ) = ( P ` ( H ` <. s , 1 >. ) )
58	54, 55, 57	3eqtr4g 2681	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( s ( P o. H ) 1 ) = ( P ` ( s H 1 ) ) )
59	4, 30	cnf 21050	. . . . 5 |- ( G e. ( J Cn K ) -> G : U. J --> U. K )
60	10, 59	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> G : U. J --> U. K )
61		fvco3 6275	. . . 4 |- ( ( G : U. J --> U. K /\ s e. U. J ) -> ( ( P o. G ) ` s ) = ( P ` ( G ` s ) ) )
62	60, 61	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( ( P o. G ) ` s ) = ( P ` ( G ` s ) ) )
63	48, 58, 62	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ s e. U. J ) -> ( s ( P o. H ) 1 ) = ( ( P o. G ) ` s ) )
64	6, 9, 12, 17, 46, 63	ishtpyd 22774	1 |- ( ph -> ( P o. H ) e. ( ( P o. F ) ( J Htpy L ) ( P o. G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   IIcii 22678   Htpy chtpy 22766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365  df-ii 22680  df-htpy 22769

This theorem is referenced by:  phtpyco2  22789