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Theorem cntzsdrg 37772
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b |- B = ( Base ` R )
cntzsdrg.m |- M = (mulGrp ` R )
cntzsdrg.z |- Z = (Cntz ` M )
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg |- ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubDRing ` R ) )
Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . 2 |- ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) -> R e. DivRing )
2 drngring 18754 . . 3 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
3 cntzsdrg.b . . . 4 |- B = ( Base ` R )
4 cntzsdrg.m . . . 4 |- M = (mulGrp ` R )
5 cntzsdrg.z . . . 4 |- Z = (Cntz ` M )
63, 4, 5cntzsubr 18812 . . 3 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubRing ` R ) )
72, 6sylan 488 . 2 |- ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubRing ` R ) )
8 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) y ) = ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) )
9 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) )
108, 9eqeq12d 2637 . . . . . 6 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) y ) = ( y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) <-> ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) ) )
11 eldifsn 4317 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( S \ { ( 0g ` R ) } ) <-> ( y e. S /\ y =/= ( 0g ` R ) ) )
12 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
134oveq1i 6660 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ↾s (Unit ` R ) ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s (Unit ` R ) )
14 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
1512, 13, 14invrfval 18673 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( invr ` R ) = ( invg ` ( M ↾s (Unit ` R ) ) )
16 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
173, 12, 16isdrng 18751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. DivRing <-> ( R e. Ring /\ (Unit ` R ) = ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
1817simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. DivRing -> (Unit ` R ) = ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
1918oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. DivRing -> ( M ↾s (Unit ` R ) ) = ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
2019fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. DivRing -> ( invg ` ( M ↾s (Unit ` R ) ) ) = ( invg ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) )
2115, 20syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. DivRing -> ( invr ` R ) = ( invg ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) )
2221ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( invr ` R ) = ( invg ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) )
2322fveq1d 6193 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( invr ` R ) ` x ) = ( ( invg ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` x ) )
244oveq1i 6660 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
253, 16, 24drngmgp 18759 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. DivRing -> ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) e. Grp )
2625ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) e. Grp )
27 ssdif 3745 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ B -> ( S \ { ( 0g ` R ) } ) C_ ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
2827ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( S \ { ( 0g ` R ) } ) C_ ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
29 difss 3737 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B \ { ( 0g ` R ) } ) C_ B
30 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) = ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
314, 3mgpbas 18495 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( Base ` M )
3230, 31ressbas2 15931 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B \ { ( 0g ` R ) } ) C_ B -> ( B \ { ( 0g ` R ) } ) = ( Base ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) )
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ { ( 0g ` R ) } ) = ( Base ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
34 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) = (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
3533, 34cntzsubg 17769 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) e. Grp /\ ( S \ { ( 0g ` R ) } ) C_ ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) e. (SubGrp ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) )
3626, 28, 35syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) e. (SubGrp ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) )
37 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) -> S C_ B )
38 difss 3737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S \ { ( 0g ` R ) } ) C_ S
3931, 5cntz2ss 17765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ B /\ ( S \ { ( 0g ` R ) } ) C_ S ) -> ( Z ` S ) C_ ( Z ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
4037, 38, 39sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) C_ ( Z ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
4140ssdifssd 3748 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) -> ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) C_ ( Z ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
4241sselda 3603 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x e. ( Z ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
4331, 5cntzssv 17761 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z ` S ) C_ B
44 ssdif 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Z ` S ) C_ B -> ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) C_ ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) -> ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) C_ ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
4645sselda 3603 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x e. ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
4742, 46elind 3798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x e. ( ( Z ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) i^i ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
48 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` R ) e. _V
493, 48eqeltri 2697 . . . . . . . . . . . . . 14 |- B e. _V
50 difexg 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. _V -> ( B \ { ( 0g ` R ) } ) e. _V )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ { ( 0g ` R ) } ) e. _V
5230, 5, 34resscntz 17764 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B \ { ( 0g ` R ) } ) e. _V /\ ( S \ { ( 0g ` R ) } ) C_ ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) = ( ( Z ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) i^i ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
5351, 28, 52sylancr 695 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) = ( ( Z ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) i^i ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
5447, 53eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x e. ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
55 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( invg ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) = ( invg ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
5655subginvcl 17603 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) e. (SubGrp ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) /\ x e. ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) -> ( ( invg ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` x ) e. ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
5736, 54, 56syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( invg ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` x ) e. ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
5823, 57eqeltrd 2701 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( invr ` R ) ` x ) e. ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
59 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
604, 59mgpplusg 18493 . . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` R ) = ( +g ` M )
6130, 60ressplusg 15993 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B \ { ( 0g ` R ) } ) e. _V -> ( .r ` R ) = ( +g ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) )
6251, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( +g ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
6362, 34cntzi 17762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( invr ` R ) ` x ) e. ( (Cntz ` ( M ↾s ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) ) ` ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ y e. ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) y ) = ( y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) )
6458, 63sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ y e. ( S \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) y ) = ( y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) )
6511, 64sylan2br 493 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ ( y e. S /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) y ) = ( y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) )
6665anassrs 680 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ y e. S ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) y ) = ( y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) )
672ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ y e. S ) -> R e. Ring )
681adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> R e. DivRing )
69 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) -> x e. ( Z ` S ) )
7069adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x e. ( Z ` S ) )
7143, 70sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x e. B )
72 eldifsni 4320 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) -> x =/= ( 0g ` R ) )
7372adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x =/= ( 0g ` R ) )
743, 16, 14drnginvrcl 18764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. DivRing /\ x e. B /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> ( ( invr ` R ) ` x ) e. B )
7568, 71, 73, 74syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( invr ` R ) ` x ) e. B )
7675adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( invr ` R ) ` x ) e. B )
773, 59, 16ringrz 18588 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( invr ` R ) ` x ) e. B ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
7867, 76, 77syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
793, 59, 16ringlz 18587 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( invr ` R ) ` x ) e. B ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) = ( 0g ` R ) )
8067, 76, 79syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) = ( 0g ` R ) )
8178, 80eqtr4d 2659 . . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) )
8210, 66, 81pm2.61ne 2879 . . . . 5 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) y ) = ( y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) )
8382ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> A. y e. S ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) y ) = ( y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) )
84 simplr 792 . . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> S C_ B )
8531, 60, 5cntzel 17756 . . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ ( ( invr ` R ) ` x ) e. B ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) <-> A. y e. S ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) y ) = ( y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) ) )
8684, 75, 85syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) <-> A. y e. S ( ( ( invr ` R ) ` x ) ( .r ` R ) y ) = ( y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` x ) ) ) )
8783, 86mpbird 247 . . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) /\ x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> ( ( invr ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) )
8887ralrimiva 2966 . 2 |- ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) -> A. x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ( ( invr ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) )
8914, 16issdrg2 37768 . 2 |- ( ( Z ` S ) e. (SubDRing ` R ) <-> ( R e. DivRing /\ ( Z ` S ) e. (SubRing ` R ) /\ A. x e. ( ( Z ` S ) \ { ( 0g ` R ) } ) ( ( invr ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) ) )
901, 7, 88, 89syl3anbrc 1246 1 |- ( ( R e. DivRing /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubDRing ` R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾s cress 15858   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  Unitcui 18639   invrcinvr 18671   DivRingcdr 18747  SubRingcsubrg 18776  SubDRingcsdrg 37765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-sdrg 37766
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