colinearalglem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem colinearalglem4 25789

Description: Lemma for colinearalg 25790. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
colinearalglem4	$/\$ $/\$ $\/$ $\/$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem colinearalglem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relin01 10552	. . 3 $\/$ $/\$ $\/$
2	1	adantl 482	. 2 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
3		fveere 25781	. . . . . . . . 9 $/\$
4	3	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
5		fveere 25781	. . . . . . . . 9 $/\$
6	5	adantll 750	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
7	4, 6	jca 554	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
8		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
10		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
11	10	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
14	9, 13, 13	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
15	8, 12	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
16	15	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
17		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
19	16, 18	pncand 10393	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
21	13	sqvald 13005	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
23	14, 20, 22	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
24		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
25	12	sqge0d 13036	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
26	24, 25	jca 554	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	26	orcd 407	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
28	12	resqcld 13035	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
29		mulle0b 10894	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
30	8, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
31	27, 30	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
32	23, 31	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	7, 32	sylan 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	33	an32s 846	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	ralrimiva 2966	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	expr 643	. . 3 $/\$ $/\$
37		recn 10026	. . . . . . . . . . . . 13
38	37	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	40, 41	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	42	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	38, 39, 43	sub32d 10424	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	40	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14
48		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
49	47, 48	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	45, 46, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	46	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	50, 52	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	38, 43, 39	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	44, 53, 54	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	39, 39, 43	sub32d 10424	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	39	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . 12
60	58, 59	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	39, 43, 39	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	56, 60, 61	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	55, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14
65		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	64, 65	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13
67	66	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67, 41	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	69, 43	mulneg2d 10484	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	67	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71, 46, 45, 46	mul4d 10248	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72	negeqd 10275	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	63, 70, 73	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	67, 40	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	41	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
78	64, 77, 65	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
80	64, 79	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15
81	80	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
82	81	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
84	78, 77, 82, 83	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	41	sqge0d 13036	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	75, 76, 85, 86	mulge0d 10604	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	46	sqvald 13005	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	87, 89	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	41, 41	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	75, 91	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	92	le0neg2d 10600	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	90, 93	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	74, 94	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	7, 95	sylan 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	an32s 846	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	97	ralrimiva 2966	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98	expr 643	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
100	37	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
101	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
102	100, 101	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
104		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
105		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
106	104, 105, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
108		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . 14
109	108	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
110	109, 106	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
112	107, 111	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
113	109	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
114	107, 113, 107	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
115	107	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
117	114, 116	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	negeqd 10275	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
119	112, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
120		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
122		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
123	47, 122	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	121, 107, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
125	107	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
127	120, 106	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
128	127	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
129	128, 100, 101	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
130	124, 126, 129	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
132	103, 119, 131	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
133	106	resqcld 13035	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
134		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
135		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
136	64, 135	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12
137	136	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
138	134, 137	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
139	106	sqge0d 13036	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
140	109, 133, 138, 139	mulge0d 10604	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
141	109, 133	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
142	141	le0neg2d 10600	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
143	140, 142	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
144	132, 143	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
145	7, 144	sylan 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	145	an32s 846	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	146	ralrimiva 2966	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
148	147	expr 643	. . 3 $/\$ $/\$
149	36, 99, 148	3orim123d 1407	. 2 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
150	2, 149	mpd 15	1 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

c2 11070

cfz 12326

cexp 12860

cee 25768

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-seq 12802 df-exp 12861 df-ee 25771

This theorem is referenced by: colinearalg 25790

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