Theorem resqcld 13035

Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resqcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resqcld	|- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. RR )

Proof of Theorem resqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resqcl 12931	. 2 |- ( A e. RR -> ( A ^ 2 ) e. RR )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   RRcr 9935   2c2 11070   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  cjmulge0  13886  sqrlem1  13983  sqrlem6  13988  sqrlem7  13989  absrele  14048  abstri  14070  amgm2  14109  sinbnd  14910  cosbnd  14911  cos01bnd  14916  cos01gt0  14921  absefi  14926  pythagtriplem10  15525  pockthg  15610  prmreclem1  15620  4sqlem12  15660  4sqlem15  15663  4sqlem16  15664  prmlem1  15814  prmlem2  15827  cphnmf  22995  reipcl  22997  ipcau2  23033  csbren  23182  trirn  23183  rrxmval  23188  rrxmet  23191  rrxdstprj1  23192  minveclem2  23197  minveclem3b  23199  minveclem3  23200  minveclem4  23203  minveclem6  23205  minveclem7  23206  pjthlem1  23208  itgabs  23601  dveflem  23742  tangtx  24257  tanregt0  24285  cxpsqrt  24449  lawcoslem1  24545  birthdaylem3  24680  cxp2limlem  24702  basellem8  24814  bposlem6  25014  2sqblem  25156  rplogsumlem2  25174  logdivsum  25222  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  vmalogdivsum2  25227  log2sumbnd  25233  selberglem2  25235  logdivbnd  25245  pntpbnd1a  25274  pntlemb  25286  pntlemr  25291  pntlemk  25295  pntlemo  25296  eqeelen  25784  brbtwn2  25785  colinearalglem4  25789  axcgrid  25796  axsegconlem2  25798  axsegconlem3  25799  axsegconlem9  25805  ax5seglem1  25808  ax5seglem2  25809  ax5seglem3  25811  ax5seg  25818  ipval2lem2  27559  minvecolem2  27731  minvecolem3  27732  minvecolem4  27736  minvecolem5  27737  minvecolem6  27738  minvecolem7  27739  normpyc  28003  pjhthlem1  28250  chscllem2  28497  pjssposi  29031  hstle1  29085  hst1h  29086  hstle  29089  hstoh  29091  strlem3a  29111  2sqmod  29648  sqsscirc1  29954  hgt750lemf  30731  hgt750leme  30736  tgoldbachgtde  30738  sinccvglem  31566  itgabsnc  33479  dvasin  33496  areacirclem1  33500  areacirclem2  33501  areacirclem4  33503  areacirc  33505  cntotbnd  33595  rrnmet  33628  rrndstprj1  33629  rrndstprj2  33630  pellexlem2  37394  pellexlem6  37398  pell14qrgt0  37423  pell1qrgaplem  37437  rmspecnonsq  37472  rmspecpos  37481  jm3.1lem2  37585  sqrlearg  39780  dvdivbd  40138  stirlinglem10  40300  fourierdlem56  40379  fourierdlem57  40380  rrxdsfi  40505  rrxtopnfi  40506  rrndistlt  40510  hoiqssbllem2  40837  smfmullem1  40998