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Theorem diophun 37337
Description: If two sets are Diophantine, so is their union. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
diophun |- ( ( A e. (Dioph ` N ) /\ B e. (Dioph ` N ) ) -> ( A u. B ) e. (Dioph ` N ) )
Proof of Theorem diophun
Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 37327 . . 3 |- ( A e. (Dioph ` N ) -> N e. NN0 )
2 nnex 11026 . . . . . 6 |- NN e. _V
32jctr 565 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN0 /\ NN e. _V ) )
4 1z 11407 . . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
5 nnuz 11723 . . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
65uzinf 12764 . . . . . . 7 |- ( 1 e. ZZ -> -. NN e. Fin )
74, 6ax-mp 5 . . . . . 6 |- -. NN e. Fin
8 elfznn 12370 . . . . . . 7 |- ( a e. ( 1 ... N ) -> a e. NN )
98ssriv 3607 . . . . . 6 |- ( 1 ... N ) C_ NN
107, 9pm3.2i 471 . . . . 5 |- ( -. NN e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ NN )
11 eldioph2b 37326 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ NN e. _V ) /\ ( -. NN e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ NN ) ) -> ( A e. (Dioph ` N ) <-> E. a e. (mzPoly ` NN ) A = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } ) )
12 eldioph2b 37326 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ NN e. _V ) /\ ( -. NN e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ NN ) ) -> ( B e. (Dioph ` N ) <-> E. c e. (mzPoly ` NN ) B = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) )
1311, 12anbi12d 747 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ NN e. _V ) /\ ( -. NN e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ NN ) ) -> ( ( A e. (Dioph ` N ) /\ B e. (Dioph ` N ) ) <-> ( E. a e. (mzPoly ` NN ) A = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } /\ E. c e. (mzPoly ` NN ) B = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) ) )
143, 10, 13sylancl 694 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( A e. (Dioph ` N ) /\ B e. (Dioph ` N ) ) <-> ( E. a e. (mzPoly ` NN ) A = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } /\ E. c e. (mzPoly ` NN ) B = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) ) )
15 reeanv 3107 . . . . 5 |- ( E. a e. (mzPoly ` NN ) E. c e. (mzPoly ` NN ) ( A = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } /\ B = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) <-> ( E. a e. (mzPoly ` NN ) A = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } /\ E. c e. (mzPoly ` NN ) B = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) )
16 unab 3894 . . . . . . . . 9 |- ( { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } u. { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) = { b | ( E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) \/ E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) ) }
17 r19.43 3093 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) \/ ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) ) <-> ( E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) \/ E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) ) )
18 andi 911 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( a ` d ) = 0 \/ ( c ` d ) = 0 ) ) <-> ( ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) \/ ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) ) )
19 zex 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ZZ e. _V
20 nn0ssz 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- NN0 C_ ZZ
21 mapss 7900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ZZ e. _V /\ NN0 C_ ZZ ) -> ( NN0 ^m NN ) C_ ( ZZ ^m NN ) )
2219, 20, 21mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( NN0 ^m NN ) C_ ( ZZ ^m NN )
2322sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d e. ( NN0 ^m NN ) -> d e. ( ZZ ^m NN ) )
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> d e. ( ZZ ^m NN ) )
25 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( e = d -> ( a ` e ) = ( a ` d ) )
26 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( e = d -> ( c ` e ) = ( c ` d ) )
2725, 26oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( e = d -> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) = ( ( a ` d ) x. ( c ` d ) ) )
28 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) = ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) )
29 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a ` d ) x. ( c ` d ) ) e. _V
3027, 28, 29fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. ( ZZ ^m NN ) -> ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = ( ( a ` d ) x. ( c ` d ) ) )
3124, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = ( ( a ` d ) x. ( c ` d ) ) )
3231eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> ( ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = 0 <-> ( ( a ` d ) x. ( c ` d ) ) = 0 ) )
33 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> a e. (mzPoly ` NN ) )
34 mzpf 37299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. (mzPoly ` NN ) -> a : ( ZZ ^m NN ) --> ZZ )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> a : ( ZZ ^m NN ) --> ZZ )
3635, 24ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> ( a ` d ) e. ZZ )
3736zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> ( a ` d ) e. CC )
38 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> c e. (mzPoly ` NN ) )
39 mzpf 37299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c e. (mzPoly ` NN ) -> c : ( ZZ ^m NN ) --> ZZ )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> c : ( ZZ ^m NN ) --> ZZ )
4140, 24ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> ( c ` d ) e. ZZ )
4241zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> ( c ` d ) e. CC )
4337, 42mul0ord 10677 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> ( ( ( a ` d ) x. ( c ` d ) ) = 0 <-> ( ( a ` d ) = 0 \/ ( c ` d ) = 0 ) ) )
4432, 43bitr2d 269 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> ( ( ( a ` d ) = 0 \/ ( c ` d ) = 0 ) <-> ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = 0 ) )
4544anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> ( ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( a ` d ) = 0 \/ ( c ` d ) = 0 ) ) <-> ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = 0 ) ) )
4618, 45syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) /\ d e. ( NN0 ^m NN ) ) -> ( ( ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) \/ ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) ) <-> ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = 0 ) ) )
4746rexbidva 3049 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> ( E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) \/ ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) ) <-> E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = 0 ) ) )
4817, 47syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> ( ( E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) \/ E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) ) <-> E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = 0 ) ) )
4948abbidv 2741 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> { b | ( E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) \/ E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) ) } = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = 0 ) } )
5016, 49syl5eq 2668 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> ( { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } u. { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = 0 ) } )
51 simpl 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> N e. NN0 )
522, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( NN e. _V /\ ( 1 ... N ) C_ NN )
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> ( NN e. _V /\ ( 1 ... N ) C_ NN ) )
54 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> a e. (mzPoly ` NN ) )
5554, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> a : ( ZZ ^m NN ) --> ZZ )
5655feqmptd 6249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> a = ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( a ` e ) ) )
5756, 54eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( a ` e ) ) e. (mzPoly ` NN ) )
58 simprr 796 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> c e. (mzPoly ` NN ) )
5958, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> c : ( ZZ ^m NN ) --> ZZ )
6059feqmptd 6249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> c = ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( c ` e ) ) )
6160, 58eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( c ` e ) ) e. (mzPoly ` NN ) )
62 mzpmulmpt 37305 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( a ` e ) ) e. (mzPoly ` NN ) /\ ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( c ` e ) ) e. (mzPoly ` NN ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) e. (mzPoly ` NN ) )
6357, 61, 62syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) e. (mzPoly ` NN ) )
64 eldioph2 37325 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( NN e. _V /\ ( 1 ... N ) C_ NN ) /\ ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) e. (mzPoly ` NN ) ) -> { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = 0 ) } e. (Dioph ` N ) )
6551, 53, 63, 64syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m NN ) |-> ( ( a ` e ) x. ( c ` e ) ) ) ` d ) = 0 ) } e. (Dioph ` N ) )
6650, 65eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> ( { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } u. { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) e. (Dioph ` N ) )
67 uneq12 3762 . . . . . . . 8 |- ( ( A = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } /\ B = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) -> ( A u. B ) = ( { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } u. { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) )
6867eleq1d 2686 . . . . . . 7 |- ( ( A = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } /\ B = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) -> ( ( A u. B ) e. (Dioph ` N ) <-> ( { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } u. { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) e. (Dioph ` N ) ) )
6966, 68syl5ibrcom 237 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( a e. (mzPoly ` NN ) /\ c e. (mzPoly ` NN ) ) ) -> ( ( A = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } /\ B = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) -> ( A u. B ) e. (Dioph ` N ) ) )
7069rexlimdvva 3038 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( E. a e. (mzPoly ` NN ) E. c e. (mzPoly ` NN ) ( A = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } /\ B = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) -> ( A u. B ) e. (Dioph ` N ) ) )
7115, 70syl5bir 233 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( E. a e. (mzPoly ` NN ) A = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( a ` d ) = 0 ) } /\ E. c e. (mzPoly ` NN ) B = { b | E. d e. ( NN0 ^m NN ) ( b = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( c ` d ) = 0 ) } ) -> ( A u. B ) e. (Dioph ` N ) ) )
7214, 71sylbid 230 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( A e. (Dioph ` N ) /\ B e. (Dioph ` N ) ) -> ( A u. B ) e. (Dioph ` N ) ) )
731, 72syl 17 . 2 |- ( A e. (Dioph ` N ) -> ( ( A e. (Dioph ` N ) /\ B e. (Dioph ` N ) ) -> ( A u. B ) e. (Dioph ` N ) ) )
7473anabsi5 858 1 |- ( ( A e. (Dioph ` N ) /\ B e. (Dioph ` N ) ) -> ( A u. B ) e. (Dioph ` N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  mzPolycmzp 37285  Diophcdioph 37318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319
This theorem is referenced by:  orrabdioph  37345
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