Theorem eldioph2b 37326

Description: While Diophantine sets were defined to have a finite number of witness variables consequtively following the observable variables, this is not necessary; they can equivalently be taken to use any witness set ( S \ ( 1 ... N ) ). For instance, in diophin 37336 we use this to take the two input sets to have disjoint witness sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eldioph2b	|- ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) -> ( A e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` S ) A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )

Distinct variable groups:   A, p   u, N, t, p   u, S, t, p

Allowed substitution hints:   A( u, t)

Proof of Theorem eldioph2b

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldiophb 37320	. . 3 |- ( A e. (Dioph ` N ) <-> ( N e. NN0 /\ E. a e. ( ZZ>= ` N ) E. b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) A = { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } ) )
2		simp-5r 809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) /\ c e. _V ) /\ ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> S e. _V )
3		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) -> b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) )
4	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) /\ c e. _V ) /\ ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) )
5		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) /\ c e. _V ) /\ ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> c : ( 1 ... a ) -1-1-> S )
6		f1f 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S -> c : ( 1 ... a ) --> S )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) /\ c e. _V ) /\ ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> c : ( 1 ... a ) --> S )
8		mzprename 37312	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. _V /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) /\ c : ( 1 ... a ) --> S ) -> ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) e. (mzPoly ` S ) )
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) /\ c e. _V ) /\ ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) e. (mzPoly ` S ) )
10		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) /\ c e. _V ) /\ ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) )
11		diophrw 37322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) -> { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) ` u ) = 0 ) } = { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } )
12	11	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. _V /\ c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) -> { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) ` u ) = 0 ) } )
13	2, 5, 10, 12	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) /\ c e. _V ) /\ ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) ` u ) = 0 ) } )
14		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) -> ( p ` u ) = ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) ` u ) )
15	14	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) -> ( ( p ` u ) = 0 <-> ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) ` u ) = 0 ) )
16	15	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) -> ( ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) ` u ) = 0 ) ) )
17	16	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) -> ( E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) <-> E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) ` u ) = 0 ) ) )
18	17	abbidv 2741	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) -> { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) ` u ) = 0 ) } )
19	18	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( p = ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) -> ( { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) ` u ) = 0 ) } ) )
20	19	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) e. (mzPoly ` S ) /\ { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( ( e e. ( ZZ ^m S ) |-> ( b ` ( e o. c ) ) ) ` u ) = 0 ) } ) -> E. p e. (mzPoly ` S ) { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } )
21	9, 13, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) /\ c e. _V ) /\ ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> E. p e. (mzPoly ` S ) { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } )
22		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) -> N e. NN0 )
23		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) -> -. S e. Fin )
24		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ S )
25		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) -> a e. ( ZZ>= ` N ) )
26		eldioph2lem2 37324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ -. S e. Fin ) /\ ( ( 1 ... N ) C_ S /\ a e. ( ZZ>= ` N ) ) ) -> E. c ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) )
27	22, 23, 24, 25, 26	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) -> E. c ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) )
28		rexv 3220	. . . . . . . 8 |- ( E. c e. _V ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) <-> E. c ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) -> E. c e. _V ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S /\ ( c |` ( 1 ... N ) ) = ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) )
30	21, 29	r19.29a 3078	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) -> E. p e. (mzPoly ` S ) { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } )
31		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( A = { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } -> ( A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
32	31	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( A = { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } -> ( E. p e. (mzPoly ` S ) A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } <-> E. p e. (mzPoly ` S ) { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
33	30, 32	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ ( a e. ( ZZ>= ` N ) /\ b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) ) ) -> ( A = { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } -> E. p e. (mzPoly ` S ) A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
34	33	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) -> ( E. a e. ( ZZ>= ` N ) E. b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) A = { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } -> E. p e. (mzPoly ` S ) A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
35	34	adantld 483	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ E. a e. ( ZZ>= ` N ) E. b e. (mzPoly ` ( 1 ... a ) ) A = { t | E. d e. ( NN0 ^m ( 1 ... a ) ) ( t = ( d |` ( 1 ... N ) ) /\ ( b ` d ) = 0 ) } ) -> E. p e. (mzPoly ` S ) A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
36	1, 35	syl5bi 232	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) -> ( A e. (Dioph ` N ) -> E. p e. (mzPoly ` S ) A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )
37		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ p e. (mzPoly ` S ) ) /\ A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) -> A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } )
38		simplll 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ p e. (mzPoly ` S ) ) -> N e. NN0 )
39		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ p e. (mzPoly ` S ) ) -> S e. _V )
40		simplrr 801	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ p e. (mzPoly ` S ) ) -> ( 1 ... N ) C_ S )
41		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ p e. (mzPoly ` S ) ) -> p e. (mzPoly ` S ) )
42		eldioph2 37325	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( S e. _V /\ ( 1 ... N ) C_ S ) /\ p e. (mzPoly ` S ) ) -> { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } e. (Dioph ` N ) )
43	38, 39, 40, 41, 42	syl121anc 1331	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ p e. (mzPoly ` S ) ) -> { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } e. (Dioph ` N ) )
44	43	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ p e. (mzPoly ` S ) ) /\ A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) -> { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } e. (Dioph ` N ) )
45	37, 44	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ p e. (mzPoly ` S ) ) /\ A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) -> A e. (Dioph ` N ) )
46	45	ex 450	. . 3 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) /\ p e. (mzPoly ` S ) ) -> ( A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } -> A e. (Dioph ` N ) ) )
47	46	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) -> ( E. p e. (mzPoly ` S ) A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } -> A e. (Dioph ` N ) ) )
48	36, 47	impbid 202	1 |- ( ( ( N e. NN0 /\ S e. _V ) /\ ( -. S e. Fin /\ ( 1 ... N ) C_ S ) ) -> ( A e. (Dioph ` N ) <-> E. p e. (mzPoly ` S ) A = { t | E. u e. ( NN0 ^m S ) ( t = ( u |` ( 1 ... N ) ) /\ ( p ` u ) = 0 ) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  mzPolycmzp 37285  Diophcdioph 37318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319

This theorem is referenced by:  eldioph3b  37328  diophin  37336  diophun  37337  eldioph4b  37375