eldioph2 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > eldioph2		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem eldioph2 37325

Description: Construct a Diophantine set from a polynomial with witness variables drawn from any set whatsoever, via mzpcompact2 37315. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
eldioph2	$/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ Dioph

Distinct variable groups:

Proof of Theorem eldioph2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpcompact2 37315	. . 3 mzPoly mzPoly $/\$
2	1	3ad2ant3 1084	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly mzPoly $/\$
3		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10
4	3	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9
5	4	anbi2d 740	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
6	5	rexbidv 3052	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
7	6	abbidv 2741	. . . . . 6 $/\$ $/\$
8	7	ad2antll 765	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$
10		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$
11		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . 12
12		unfi 8227	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
13	10, 11, 12	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$
14		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . 12
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$
16		eldioph2lem1 37323	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
17	9, 13, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$
18		f1ococnv2 6163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
19	18	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	19	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
22		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
24	20, 23	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		resco 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	24, 25	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	27	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		coires1 5653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
30		coass 5654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
31	30	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
32	28, 29, 31	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
37	36	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$
39		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
40	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$
41	38, 40	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$
42	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		f1ss 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
44	37, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		f1f 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		mapco2g 37277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
49	34, 35, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
54	51, 52, 53	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55	49, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	33, 55	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	abbidv 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly
64	63	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		diophrw 37322	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	64, 44, 65, 66	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	62, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ mzPoly
73	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly
74		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77		fssres 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
78	76, 21, 77	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	78	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		mzprename 37312	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ mzPoly $/\$ mzPoly
81	71, 73, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly
82		eldioph 37321	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ Dioph
83	69, 70, 81, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Dioph
84	68, 83	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Dioph
85	84	ex 450	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Dioph
86	85	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ Dioph
87	17, 86	mpd 15	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ Dioph
88	87	exp31 630	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ Dioph
89	88	3adant3 1081	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ mzPoly $/\$ Dioph
90	89	imp31 448	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ Dioph
91	90	adantrr 753	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ Dioph
92	8, 91	eqeltrd 2701	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ $/\$ Dioph
93	92	ex 450	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ $/\$ Dioph
94	93	rexlimdvva 3038	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly mzPoly $/\$ $/\$ Dioph
95	2, 94	mpd 15	1 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $/\$ Dioph

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wrex 2913

cvv 3200

cun 3572

wss 3574

cmpt 4729

cid 5023

ccnv 5113

cres 5116

ccom 5118

wf 5884

wf1 5885

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmap 7857

cfn 7955

cc0 9936

c1 9937

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 mzPolycmzp 37285 Diophcdioph 37318

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-hash 13118 df-mzpcl 37286 df-mzp 37287 df-dioph 37319

This theorem is referenced by: eldioph2b 37326 diophin 37336 diophun 37337

W3C validator