Theorem dmatscmcl 20309

Description: The multiplication of a diagonal matrix with a scalar is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatscmcl.k	|- K = ( Base ` R )
dmatscmcl.a	|- A = ( N Mat R )
dmatscmcl.b	|- B = ( Base ` A )
dmatscmcl.s	|- .* = ( .s ` A )
dmatscmcl.d	|- D = ( N DMat R )

Assertion

Ref	Expression
dmatscmcl	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( C e. K /\ M e. D ) ) -> ( C .* M ) e. D )

Proof of Theorem dmatscmcl

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( C e. K /\ M e. D ) ) -> C e. K )
2		dmatscmcl.a	. . . . . . . 8 |- A = ( N Mat R )
3		dmatscmcl.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` A )
4		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
5		dmatscmcl.d	. . . . . . . 8 |- D = ( N DMat R )
6	2, 3, 4, 5	dmatmat 20300	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( M e. D -> M e. B ) )
7	6	com12 32	. . . . . 6 |- ( M e. D -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> M e. B ) )
8	7	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( C e. K /\ M e. D ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> M e. B ) )
9	8	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( C e. K /\ M e. D ) ) -> M e. B )
10	1, 9	jca 554	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( C e. K /\ M e. D ) ) -> ( C e. K /\ M e. B ) )
11		dmatscmcl.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
12		dmatscmcl.s	. . . 4 |- .* = ( .s ` A )
13	11, 2, 3, 12	matvscl 20237	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( C e. K /\ M e. B ) ) -> ( C .* M ) e. B )
14	10, 13	syldan 487	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( C e. K /\ M e. D ) ) -> ( C .* M ) e. B )
15	2, 3, 4, 5	dmatel 20299	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( M e. D <-> ( M e. B /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) -> ( M e. D <-> ( M e. B /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
17		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. Ring )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) -> C e. K )
19	18	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) -> ( C e. K /\ M e. B ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( C e. K /\ M e. B ) )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i e. N /\ j e. N ) )
22	17, 20, 21	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R e. Ring /\ ( C e. K /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) -> ( R e. Ring /\ ( C e. K /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
25	2, 3, 11, 12, 24	matvscacell 20242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( C e. K /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( C .* M ) j ) = ( C ( .r ` R ) ( i M j ) ) )
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) -> ( i ( C .* M ) j ) = ( C ( .r ` R ) ( i M j ) ) )
27		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i M j ) = ( 0g ` R ) -> ( C ( .r ` R ) ( i M j ) ) = ( C ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) -> ( C ( .r ` R ) ( i M j ) ) = ( C ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) )
29		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
30	29	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) -> ( R e. Ring /\ C e. K ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) -> ( R e. Ring /\ C e. K ) )
32	11, 24, 4	ringrz 18588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K ) -> ( C ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) -> ( C ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( C ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) -> ( C ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
36	26, 28, 35	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) -> ( i ( C .* M ) j ) = ( 0g ` R ) )
37	36	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( i M j ) = ( 0g ` R ) -> ( i ( C .* M ) j ) = ( 0g ` R ) ) )
38	37	imim2d 57	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) -> ( i =/= j -> ( i ( C .* M ) j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
39	38	ralimdvva 2964	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) /\ M e. B ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( C .* M ) j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
40	39	expimpd 629	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) -> ( ( M e. B /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i M j ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( C .* M ) j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
41	16, 40	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. K ) -> ( M e. D -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( C .* M ) j ) = ( 0g ` R ) ) ) )
42	41	impr 649	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( C e. K /\ M e. D ) ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( C .* M ) j ) = ( 0g ` R ) ) )
43	2, 3, 4, 5	dmatel 20299	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( C .* M ) e. D <-> ( ( C .* M ) e. B /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( C .* M ) j ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
44	43	adantr 481	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( C e. K /\ M e. D ) ) -> ( ( C .* M ) e. D <-> ( ( C .* M ) e. B /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( C .* M ) j ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
45	14, 42, 44	mpbir2and 957	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( C e. K /\ M e. D ) ) -> ( C .* M ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213   DMat cdmat 20294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-dmat 20296

This theorem is referenced by:  scmatscmiddistr  20314