Theorem scmatscmiddistr 20314

Description: Distributive law for scalar and ring multiplication for scalar matrices expressed as multiplications of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatscmide.a	|- A = ( N Mat R )
scmatscmide.b	|- B = ( Base ` R )
scmatscmide.0	|- .0. = ( 0g ` R )
scmatscmide.1	|- .1. = ( 1r ` A )
scmatscmide.m	|- .* = ( .s ` A )
scmatscmiddistr.t	|- .x. = ( .r ` R )
scmatscmiddistr.m	|- .X. = ( .r ` A )

Assertion

Ref	Expression
scmatscmiddistr	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( ( S .* .1. ) .X. ( T .* .1. ) ) = ( ( S .x. T ) .* .1. ) )

Proof of Theorem scmatscmiddistr

Dummy variables i j x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> S e. B )
2		scmatscmide.1	. . . . . . . 8 |- .1. = ( 1r ` A )
3		scmatscmide.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( N Mat R )
4		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
5		scmatscmide.0	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
6		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( N DMat R ) = ( N DMat R )
7	3, 4, 5, 6	dmatid 20301	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) e. ( N DMat R ) )
8	2, 7	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .1. e. ( N DMat R ) )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> .1. e. ( N DMat R ) )
10	1, 9	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( S e. B /\ .1. e. ( N DMat R ) ) )
11		scmatscmide.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
12		scmatscmide.m	. . . . . 6 |- .* = ( .s ` A )
13	11, 3, 4, 12, 6	dmatscmcl 20309	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ .1. e. ( N DMat R ) ) ) -> ( S .* .1. ) e. ( N DMat R ) )
14	10, 13	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( S .* .1. ) e. ( N DMat R ) )
15		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> T e. B )
16	15, 9	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( T e. B /\ .1. e. ( N DMat R ) ) )
17	11, 3, 4, 12, 6	dmatscmcl 20309	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( T e. B /\ .1. e. ( N DMat R ) ) ) -> ( T .* .1. ) e. ( N DMat R ) )
18	16, 17	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( T .* .1. ) e. ( N DMat R ) )
19	14, 18	jca 554	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( ( S .* .1. ) e. ( N DMat R ) /\ ( T .* .1. ) e. ( N DMat R ) ) )
20		scmatscmiddistr.m	. . . . 5 |- .X. = ( .r ` A )
21	20	oveqi 6663	. . . 4 |- ( ( S .* .1. ) .X. ( T .* .1. ) ) = ( ( S .* .1. ) ( .r ` A ) ( T .* .1. ) )
22	3, 4, 5, 6	dmatmul 20303	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( S .* .1. ) e. ( N DMat R ) /\ ( T .* .1. ) e. ( N DMat R ) ) ) -> ( ( S .* .1. ) ( .r ` A ) ( T .* .1. ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( ( i ( S .* .1. ) j ) ( .r ` R ) ( i ( T .* .1. ) j ) ) , .0. ) ) )
23	21, 22	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( S .* .1. ) e. ( N DMat R ) /\ ( T .* .1. ) e. ( N DMat R ) ) ) -> ( ( S .* .1. ) .X. ( T .* .1. ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( ( i ( S .* .1. ) j ) ( .r ` R ) ( i ( T .* .1. ) j ) ) , .0. ) ) )
24	19, 23	syldan 487	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( ( S .* .1. ) .X. ( T .* .1. ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( ( i ( S .* .1. ) j ) ( .r ` R ) ( i ( T .* .1. ) j ) ) , .0. ) ) )
25		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> N e. Fin )
26		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> R e. Ring )
27	25, 26, 1	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ S e. B ) )
28	27	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ S e. B ) )
29		3simpc 1060	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i e. N /\ j e. N ) )
30	3, 11, 5, 2, 12	scmatscmide 20313	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ S e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( S .* .1. ) j ) = if ( i = j , S , .0. ) )
31	28, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i ( S .* .1. ) j ) = if ( i = j , S , .0. ) )
32	25, 26, 15	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ T e. B ) )
33	32	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ T e. B ) )
34	3, 11, 5, 2, 12	scmatscmide 20313	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ T e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( T .* .1. ) j ) = if ( i = j , T , .0. ) )
35	33, 29, 34	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i ( T .* .1. ) j ) = if ( i = j , T , .0. ) )
36	31, 35	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( i ( S .* .1. ) j ) ( .r ` R ) ( i ( T .* .1. ) j ) ) = ( if ( i = j , S , .0. ) ( .r ` R ) if ( i = j , T , .0. ) ) )
37	36	ifeq1d 4104	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> if ( i = j , ( ( i ( S .* .1. ) j ) ( .r ` R ) ( i ( T .* .1. ) j ) ) , .0. ) = if ( i = j , ( if ( i = j , S , .0. ) ( .r ` R ) if ( i = j , T , .0. ) ) , .0. ) )
38	37	mpt2eq3dva 6719	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( ( i ( S .* .1. ) j ) ( .r ` R ) ( i ( T .* .1. ) j ) ) , .0. ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( if ( i = j , S , .0. ) ( .r ` R ) if ( i = j , T , .0. ) ) , .0. ) ) )
39		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> if ( i = j , S , .0. ) = S )
40		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> if ( i = j , T , .0. ) = T )
41	39, 40	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( if ( i = j , S , .0. ) ( .r ` R ) if ( i = j , T , .0. ) ) = ( S ( .r ` R ) T ) )
42	41	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ i = j ) -> ( if ( i = j , S , .0. ) ( .r ` R ) if ( i = j , T , .0. ) ) = ( S ( .r ` R ) T ) )
43	42	ifeq1da 4116	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> if ( i = j , ( if ( i = j , S , .0. ) ( .r ` R ) if ( i = j , T , .0. ) ) , .0. ) = if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) )
44	43	mpt2eq3dva 6719	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( if ( i = j , S , .0. ) ( .r ` R ) if ( i = j , T , .0. ) ) , .0. ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) )
45		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) )
46		eqeq12 2635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( i = j <-> x = y ) )
47		scmatscmiddistr.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- .x. = ( .r ` R )
48	47	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` R ) = .x.
49	48	oveqi 6663	. . . . . . . . . . 11 |- ( S ( .r ` R ) T ) = ( S .x. T )
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> ( S ( .r ` R ) T ) = ( S .x. T ) )
51	46, 50	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = x /\ j = y ) -> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) = if ( x = y , ( S .x. T ) , .0. ) )
52	51	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) /\ ( i = x /\ j = y ) ) -> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) = if ( x = y , ( S .x. T ) , .0. ) )
53		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> x e. N )
54		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> y e. N )
55		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( S .x. T ) e. _V
56		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) e. _V
57	5, 56	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- .0. e. _V
58	55, 57	ifex 4156	. . . . . . . . 9 |- if ( x = y , ( S .x. T ) , .0. ) e. _V
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> if ( x = y , ( S .x. T ) , .0. ) e. _V )
60	45, 52, 53, 54, 59	ovmpt2d 6788	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( x ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) y ) = if ( x = y , ( S .x. T ) , .0. ) )
61	26, 1, 15	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( R e. Ring /\ S e. B /\ T e. B ) )
62	11, 47	ringcl 18561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ S e. B /\ T e. B ) -> ( S .x. T ) e. B )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( S .x. T ) e. B )
64	25, 26, 63	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( S .x. T ) e. B ) )
65	3, 11, 5, 2, 12	scmatscmide 20313	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( S .x. T ) e. B ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( x ( ( S .x. T ) .* .1. ) y ) = if ( x = y , ( S .x. T ) , .0. ) )
66	64, 65	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( x ( ( S .x. T ) .* .1. ) y ) = if ( x = y , ( S .x. T ) , .0. ) )
67	60, 66	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> ( x ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) y ) = ( x ( ( S .x. T ) .* .1. ) y ) )
68	67	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) y ) = ( x ( ( S .x. T ) .* .1. ) y ) )
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
70	11, 69	ringcl 18561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ S e. B /\ T e. B ) -> ( S ( .r ` R ) T ) e. B )
71	61, 70	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( S ( .r ` R ) T ) e. B )
72	11, 5	ring0cl 18569	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .0. e. B )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> .0. e. B )
75	71, 74	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) e. B )
76	75	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) e. B )
77	3, 11, 4, 25, 26, 76	matbas2d 20229	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) e. ( Base ` A ) )
78	3	matring 20249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
79	4, 2	ringidcl 18568	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Ring -> .1. e. ( Base ` A ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .1. e. ( Base ` A ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> .1. e. ( Base ` A ) )
82	63, 81	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( ( S .x. T ) e. B /\ .1. e. ( Base ` A ) ) )
83	11, 3, 4, 12	matvscl 20237	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( S .x. T ) e. B /\ .1. e. ( Base ` A ) ) ) -> ( ( S .x. T ) .* .1. ) e. ( Base ` A ) )
84	82, 83	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( ( S .x. T ) .* .1. ) e. ( Base ` A ) )
85	3, 4	eqmat 20230	. . . . . 6 |- ( ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) e. ( Base ` A ) /\ ( ( S .x. T ) .* .1. ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) = ( ( S .x. T ) .* .1. ) <-> A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) y ) = ( x ( ( S .x. T ) .* .1. ) y ) ) )
86	77, 84, 85	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) = ( ( S .x. T ) .* .1. ) <-> A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) y ) = ( x ( ( S .x. T ) .* .1. ) y ) ) )
87	68, 86	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( S ( .r ` R ) T ) , .0. ) ) = ( ( S .x. T ) .* .1. ) )
88	44, 87	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( if ( i = j , S , .0. ) ( .r ` R ) if ( i = j , T , .0. ) ) , .0. ) ) = ( ( S .x. T ) .* .1. ) )
89	38, 88	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = j , ( ( i ( S .* .1. ) j ) ( .r ` R ) ( i ( T .* .1. ) j ) ) , .0. ) ) = ( ( S .x. T ) .* .1. ) )
90	24, 89	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( S e. B /\ T e. B ) ) -> ( ( S .* .1. ) .X. ( T .* .1. ) ) = ( ( S .x. T ) .* .1. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   ifcif 4086   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213   DMat cdmat 20294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-dmat 20296

This theorem is referenced by:  scmatmulcl  20324  scmatmhm  20340