Theorem dpadd2 29618

Description: Addition with one decimal, no carry. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpadd2.a	|- A e. NN0
dpadd2.b	|- B e. RR+
dpadd2.c	|- C e. NN0
dpadd2.d	|- D e. RR+
dpadd2.e	|- E e. NN0
dpadd2.f	|- F e. RR+
dpadd2.g	|- G e. NN0
dpadd2.h	|- H e. NN0
dpadd2.i	|- ( G + H ) = I
dpadd2.1	|- ( ( A period B ) + ( C period D ) ) = ( E period F )

Assertion

Ref	Expression
dpadd2	|- ( ( G period_ A B ) + ( H period_ C D ) ) = ( I period_ E F )

Proof of Theorem dpadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpadd2.g	. . . 4 |- G e. NN0
2		dpadd2.a	. . . . . 6 |- A e. NN0
3	2	nn0rei 11303	. . . . 5 |- A e. RR
4		dpadd2.b	. . . . . 6 |- B e. RR+
5		rpre 11839	. . . . . 6 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- B e. RR
7		dp2cl 29587	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> _ A B e. RR )
8	3, 6, 7	mp2an 708	. . . 4 |- _ A B e. RR
9	1, 8	dpval2 29601	. . 3 |- ( G period_ A B ) = ( G + (_ A B / ; 1 0 ) )
10		dpadd2.h	. . . 4 |- H e. NN0
11		dpadd2.c	. . . . . 6 |- C e. NN0
12	11	nn0rei 11303	. . . . 5 |- C e. RR
13		dpadd2.d	. . . . . 6 |- D e. RR+
14		rpre 11839	. . . . . 6 |- ( D e. RR+ -> D e. RR )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 |- D e. RR
16		dp2cl 29587	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> _ C D e. RR )
17	12, 15, 16	mp2an 708	. . . 4 |- _ C D e. RR
18	10, 17	dpval2 29601	. . 3 |- ( H period_ C D ) = ( H + (_ C D / ; 1 0 ) )
19	9, 18	oveq12i 6662	. 2 |- ( ( G period_ A B ) + ( H period_ C D ) ) = ( ( G + (_ A B / ; 1 0 ) ) + ( H + (_ C D / ; 1 0 ) ) )
20	1	nn0cni 11304	. . 3 |- G e. CC
21	8	recni 10052	. . . 4 |- _ A B e. CC
22		10nn 11514	. . . . 5 |- ; 1 0 e. NN
23	22	nncni 11030	. . . 4 |- ; 1 0 e. CC
24	22	nnne0i 11055	. . . 4 |- ; 1 0 =/= 0
25	21, 23, 24	divcli 10767	. . 3 |- (_ A B / ; 1 0 ) e. CC
26	10	nn0cni 11304	. . 3 |- H e. CC
27	17	recni 10052	. . . 4 |- _ C D e. CC
28	27, 23, 24	divcli 10767	. . 3 |- (_ C D / ; 1 0 ) e. CC
29	20, 25, 26, 28	add4i 10260	. 2 |- ( ( G + (_ A B / ; 1 0 ) ) + ( H + (_ C D / ; 1 0 ) ) ) = ( ( G + H ) + ( (_ A B / ; 1 0 ) + (_ C D / ; 1 0 ) ) )
30		dpadd2.i	. . . 4 |- ( G + H ) = I
31	21, 27, 23, 24	divdiri 10782	. . . . 5 |- ( (_ A B + _ C D ) / ; 1 0 ) = ( (_ A B / ; 1 0 ) + (_ C D / ; 1 0 ) )
32		dpadd2.1	. . . . . . 7 |- ( ( A period B ) + ( C period D ) ) = ( E period F )
33		dpval 29597	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. RR ) -> ( A period B ) = _ A B )
34	2, 6, 33	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( A period B ) = _ A B
35		dpval 29597	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. NN0 /\ D e. RR ) -> ( C period D ) = _ C D )
36	11, 15, 35	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( C period D ) = _ C D
37	34, 36	oveq12i 6662	. . . . . . 7 |- ( ( A period B ) + ( C period D ) ) = (_ A B + _ C D )
38		dpadd2.e	. . . . . . . 8 |- E e. NN0
39		dpadd2.f	. . . . . . . . 9 |- F e. RR+
40		rpre 11839	. . . . . . . . 9 |- ( F e. RR+ -> F e. RR )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- F e. RR
42		dpval 29597	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. NN0 /\ F e. RR ) -> ( E period F ) = _ E F )
43	38, 41, 42	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( E period F ) = _ E F
44	32, 37, 43	3eqtr3i 2652	. . . . . 6 |- (_ A B + _ C D ) = _ E F
45	44	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( (_ A B + _ C D ) / ; 1 0 ) = (_ E F / ; 1 0 )
46	31, 45	eqtr3i 2646	. . . 4 |- ( (_ A B / ; 1 0 ) + (_ C D / ; 1 0 ) ) = (_ E F / ; 1 0 )
47	30, 46	oveq12i 6662	. . 3 |- ( ( G + H ) + ( (_ A B / ; 1 0 ) + (_ C D / ; 1 0 ) ) ) = ( I + (_ E F / ; 1 0 ) )
48	1, 10	nn0addcli 11330	. . . . 5 |- ( G + H ) e. NN0
49	30, 48	eqeltrri 2698	. . . 4 |- I e. NN0
50	38	nn0rei 11303	. . . . 5 |- E e. RR
51		dp2cl 29587	. . . . 5 |- ( ( E e. RR /\ F e. RR ) -> _ E F e. RR )
52	50, 41, 51	mp2an 708	. . . 4 |- _ E F e. RR
53	49, 52	dpval2 29601	. . 3 |- ( I period_ E F ) = ( I + (_ E F / ; 1 0 ) )
54	47, 53	eqtr4i 2647	. 2 |- ( ( G + H ) + ( (_ A B / ; 1 0 ) + (_ C D / ; 1 0 ) ) ) = ( I period_ E F )
55	19, 29, 54	3eqtri 2648	1 |- ( ( G period_ A B ) + ( H period_ C D ) ) = ( I period_ E F )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   / cdiv 10684   NN0cn0 11292  ;cdc 11493   RR+crp 11832  _cdp2 29577   periodcdp 29595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494  df-rp 11833  df-dp2 29578  df-dp 29596

This theorem is referenced by:  hgt750lemd  30726