Theorem dpjeq 18458

Description: Decompose a group sum into projections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dpjfval.2	|- ( ph -> dom S = I )
dpjfval.p	|- P = ( GdProj S )
dpjidcl.3	|- ( ph -> A e. ( G DProd S ) )
dpjidcl.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dpjidcl.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
dpjeq.c	|- ( ph -> ( x e. I |-> C ) e. W )

Assertion

Ref	Expression
dpjeq	|- ( ph -> ( A = ( G gsumg ( x e. I |-> C ) ) <-> A. x e. I ( ( P ` x ) ` A ) = C ) )

Distinct variable groups:   x, h, .0.   h, i, G, x   P, h, x   ph, i, x   C, h   h, I, i, x   x, W   A, h, x   S, h, i, x

Allowed substitution hints:   ph( h)   A( i)   C( x, i)   P( i)   W( h, i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dpjeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjfval.1	. . . . 5 |- ( ph -> G dom DProd S )
2		dpjfval.2	. . . . 5 |- ( ph -> dom S = I )
3		dpjfval.p	. . . . 5 |- P = ( GdProj S )
4		dpjidcl.3	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( G DProd S ) )
5		dpjidcl.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
6		dpjidcl.w	. . . . 5 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dpjidcl 18457	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. W /\ A = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) ) )
8	7	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> A = ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) )
9	8	eqeq1d 2624	. 2 |- ( ph -> ( A = ( G gsumg ( x e. I |-> C ) ) <-> ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) = ( G gsumg ( x e. I |-> C ) ) ) )
10	7	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) e. W )
11		dpjeq.c	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> C ) e. W )
12	5, 6, 1, 2, 10, 11	dprdf11 18422	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) ) = ( G gsumg ( x e. I |-> C ) ) <-> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) = ( x e. I |-> C ) ) )
13		fvex 6201	. . . 4 |- ( ( P ` x ) ` A ) e. _V
14	13	rgenw 2924	. . 3 |- A. x e. I ( ( P ` x ) ` A ) e. _V
15		mpteqb 6299	. . 3 |- ( A. x e. I ( ( P ` x ) ` A ) e. _V -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) = ( x e. I |-> C ) <-> A. x e. I ( ( P ` x ) ` A ) = C ) )
16	14, 15	mp1i 13	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) ` A ) ) = ( x e. I |-> C ) <-> A. x e. I ( ( P ` x ) ` A ) = C ) )
17	9, 12, 16	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( A = ( G gsumg ( x e. I |-> C ) ) <-> A. x e. I ( ( P ` x ) ` A ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   finSupp cfsupp 8275   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   DProd cdprd 18392  dProjcdpj 18393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-dprd 18394  df-dpj 18395

This theorem is referenced by:  dpjrid  18461  dchrptlem3  24991