Theorem dchrptlem3 24991

Description: Lemma for dchrpt 24992. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	|- G = (DChr ` N )
dchrpt.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrpt.d	|- D = ( Base ` G )
dchrpt.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrpt.1	|- .1. = ( 1r ` Z )
dchrpt.n	|- ( ph -> N e. NN )
dchrpt.n1	|- ( ph -> A =/= .1. )
dchrpt.u	|- U = (Unit ` Z )
dchrpt.h	|- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
dchrpt.m	|- .x. = (.g ` H )
dchrpt.s	|- S = ( k e. dom W |-> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) )
dchrpt.au	|- ( ph -> A e. U )
dchrpt.w	|- ( ph -> W e. Word U )
dchrpt.2	|- ( ph -> H dom DProd S )
dchrpt.3	|- ( ph -> ( H DProd S ) = U )

Assertion

Ref	Expression
dchrptlem3	|- ( ph -> E. x e. D ( x ` A ) =/= 1 )

Distinct variable groups:   k, n, x, .1.   A, k, n, x   x, B   x, G   k, H, n, x   x, N   k, W, n, x   .x. , k, n, x   S, k, n, x   k, Z, n, x   x, D   ph, k, n, x   x, U

Allowed substitution hints:   B( k, n)   D( k, n)   U( k, n)   G( k, n)   N( k, n)

Proof of Theorem dchrptlem3

Dummy variables a h m u i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrpt.n1	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= .1. )
2		dchrpt.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
3	2	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
4		dchrpt.z	. . . . . . . . . . . 12 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
5	4	zncrng 19893	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
6	3, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. CRing )
7		crngring 18558	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. Ring )
9		dchrpt.u	. . . . . . . . . 10 |- U = (Unit ` Z )
10		dchrpt.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
11	9, 10	unitgrp 18667	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. Ring -> H e. Grp )
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H e. Grp )
13		grpmnd 17429	. . . . . . . 8 |- ( H e. Grp -> H e. Mnd )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. Mnd )
15		dchrpt.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. Word U )
16		dmexg 7097	. . . . . . . 8 |- ( W e. Word U -> dom W e. _V )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom W e. _V )
18		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
19	18	gsumz 17374	. . . . . . 7 |- ( ( H e. Mnd /\ dom W e. _V ) -> ( H gsumg ( a e. dom W |-> ( 0g ` H ) ) ) = ( 0g ` H ) )
20	14, 17, 19	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H gsumg ( a e. dom W |-> ( 0g ` H ) ) ) = ( 0g ` H ) )
21		dchrpt.1	. . . . . . . . . 10 |- .1. = ( 1r ` Z )
22	9, 10, 21	unitgrpid 18669	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. Ring -> .1. = ( 0g ` H ) )
23	8, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .1. = ( 0g ` H ) )
24	23	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( a e. dom W |-> .1. ) = ( a e. dom W |-> ( 0g ` H ) ) )
25	24	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H gsumg ( a e. dom W |-> .1. ) ) = ( H gsumg ( a e. dom W |-> ( 0g ` H ) ) ) )
26	20, 25, 23	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ph -> ( H gsumg ( a e. dom W |-> .1. ) ) = .1. )
27	1, 26	neeqtrrd 2868	. . . 4 |- ( ph -> A =/= ( H gsumg ( a e. dom W |-> .1. ) ) )
28		dchrpt.2	. . . . . 6 |- ( ph -> H dom DProd S )
29		zex 11386	. . . . . . . . . 10 |- ZZ e. _V
30	29	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) e. _V
31	30	rnex 7100	. . . . . . . 8 |- ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) e. _V
32		dchrpt.s	. . . . . . . 8 |- S = ( k e. dom W |-> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) )
33	31, 32	dmmpti 6023	. . . . . . 7 |- dom S = dom W
34	33	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> dom S = dom W )
35		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( HdProj S ) = ( HdProj S )
36		dchrpt.au	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. U )
37		dchrpt.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H DProd S ) = U )
38	36, 37	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( H DProd S ) )
39		eqid 2622	. . . . . 6 |- { h e. X_ i e. dom W ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` H ) } = { h e. X_ i e. dom W ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` H ) }
40	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. dom W ) -> .1. = ( 0g ` H ) )
41	28, 34	dprdf2 18406	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S : dom W --> (SubGrp ` H ) )
42	41	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. dom W ) -> ( S ` a ) e. (SubGrp ` H ) )
43	18	subg0cl 17602	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` a ) e. (SubGrp ` H ) -> ( 0g ` H ) e. ( S ` a ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. dom W ) -> ( 0g ` H ) e. ( S ` a ) )
45	40, 44	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. dom W ) -> .1. e. ( S ` a ) )
46		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` Z ) e. _V
47	21, 46	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- .1. e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> .1. e. _V )
49	17, 48	fczfsuppd 8293	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( dom W X. { .1. } ) finSupp .1. )
50		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 |- ( dom W X. { .1. } ) = ( a e. dom W |-> .1. )
51	50	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( a e. dom W |-> .1. ) = ( dom W X. { .1. } )
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( a e. dom W |-> .1. ) = ( dom W X. { .1. } ) )
53	23	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0g ` H ) = .1. )
54	49, 52, 53	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( a e. dom W |-> .1. ) finSupp ( 0g ` H ) )
55	39, 28, 34, 45, 54	dprdwd 18410	. . . . . 6 |- ( ph -> ( a e. dom W |-> .1. ) e. { h e. X_ i e. dom W ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` H ) } )
56	28, 34, 35, 38, 18, 39, 55	dpjeq 18458	. . . . 5 |- ( ph -> ( A = ( H gsumg ( a e. dom W |-> .1. ) ) <-> A. a e. dom W ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) = .1. ) )
57	56	necon3abid 2830	. . . 4 |- ( ph -> ( A =/= ( H gsumg ( a e. dom W |-> .1. ) ) <-> -. A. a e. dom W ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) = .1. ) )
58	27, 57	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> -. A. a e. dom W ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) = .1. )
59		rexnal 2995	. . 3 |- ( E. a e. dom W -. ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) = .1. <-> -. A. a e. dom W ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) = .1. )
60	58, 59	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> E. a e. dom W -. ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) = .1. )
61		df-ne 2795	. . . 4 |- ( ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. <-> -. ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) = .1. )
62		dchrpt.g	. . . . . 6 |- G = (DChr ` N )
63		dchrpt.d	. . . . . 6 |- D = ( Base ` G )
64		dchrpt.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` Z )
65	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. dom W /\ ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. ) ) -> N e. NN )
66	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. dom W /\ ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. ) ) -> A =/= .1. )
67		dchrpt.m	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` H )
68	36	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. dom W /\ ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. ) ) -> A e. U )
69	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. dom W /\ ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. ) ) -> W e. Word U )
70	28	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. dom W /\ ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. ) ) -> H dom DProd S )
71	37	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. dom W /\ ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. ) ) -> ( H DProd S ) = U )
72		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( od ` H ) = ( od ` H )
73		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -u 1 ^c ( 2 / ( ( od ` H ) ` ( W ` a ) ) ) ) = ( -u 1 ^c ( 2 / ( ( od ` H ) ` ( W ` a ) ) ) )
74		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. dom W /\ ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. ) ) -> a e. dom W )
75		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. dom W /\ ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. ) ) -> ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. )
76		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` u ) = ( m .x. ( W ` a ) ) /\ h = ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( ( od ` H ) ` ( W ` a ) ) ) ) ^ m ) ) ) ) = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` u ) = ( m .x. ( W ` a ) ) /\ h = ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( ( od ` H ) ` ( W ` a ) ) ) ) ^ m ) ) ) )
77	62, 4, 63, 64, 21, 65, 66, 9, 10, 67, 32, 68, 69, 70, 71, 35, 72, 73, 74, 75, 76	dchrptlem2 24990	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. dom W /\ ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. ) ) -> E. x e. D ( x ` A ) =/= 1 )
78	77	expr 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. dom W ) -> ( ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) =/= .1. -> E. x e. D ( x ` A ) =/= 1 ) )
79	61, 78	syl5bir 233	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. dom W ) -> ( -. ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) = .1. -> E. x e. D ( x ` A ) =/= 1 ) )
80	79	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. dom W -. ( ( ( HdProj S ) ` a ) ` A ) = .1. -> E. x e. D ( x ` A ) =/= 1 ) )
81	60, 80	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. D ( x ` A ) =/= 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   iotacio 5849   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   finSupp cfsupp 8275   1c1 9937   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860  Word cword 13291   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944   DProd cdprd 18392  dProjcdpj 18393  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Unitcui 18639  ℤ/nℤczn 19851   ^c ccxp 24302  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-od 17948  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-dprd 18394  df-dpj 18395  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrpt  24992