Theorem dquartlem2 24579

Description: Lemma for dquart 24580. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dquart.b	|- ( ph -> B e. CC )
dquart.c	|- ( ph -> C e. CC )
dquart.x	|- ( ph -> X e. CC )
dquart.s	|- ( ph -> S e. CC )
dquart.m	|- ( ph -> M = ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) )
dquart.m0	|- ( ph -> M =/= 0 )
dquart.i	|- ( ph -> I e. CC )
dquart.i2	|- ( ph -> ( I ^ 2 ) = ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + ( ( C / 4 ) / S ) ) )
dquart.d	|- ( ph -> D e. CC )
dquart.3	|- ( ph -> ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) + -u ( C ^ 2 ) ) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
dquartlem2	|- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) = D )

Proof of Theorem dquartlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dquart.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M = ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) )
2		2cn 11091	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
3		dquart.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. CC )
4		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. CC ) -> ( 2 x. S ) e. CC )
5	2, 3, 4	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. S ) e. CC )
6	5	sqcld 13006	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) e. CC )
7	1, 6	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
8		dquart.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. CC )
9	7, 8	addcld 10059	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + B ) e. CC )
10	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. CC )
11		2ne0 11113	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
13	9, 10, 12	sqdivd 13021	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
14		sq2 12960	. . . . 5 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
15	14	oveq2i 6661	. . . 4 |- ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 )
16	13, 15	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) )
17	16	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) = ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) )
18	9	sqcld 13006	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + B ) ^ 2 ) e. CC )
19		4cn 11098	. . . . . 6 |- 4 e. CC
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 4 e. CC )
21		4ne0 11117	. . . . . 6 |- 4 =/= 0
22	21	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 4 =/= 0 )
23	18, 20, 22	divcld 10801	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) e. CC )
24		dquart.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. CC )
25	24	sqcld 13006	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
26	25, 20, 22	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) / 4 ) e. CC )
27		dquart.m0	. . . . 5 |- ( ph -> M =/= 0 )
28	26, 7, 27	divcld 10801	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) e. CC )
29	23, 28	subcld 10392	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) e. CC )
30		dquart.d	. . 3 |- ( ph -> D e. CC )
31	23, 28, 7	subdird 10487	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) x. M ) = ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) x. M ) - ( ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) x. M ) ) )
32	18, 7, 20, 22	div23d 10838	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) / 4 ) = ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) x. M ) )
33	32	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) x. M ) = ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) / 4 ) )
34	26, 7, 27	divcan1d 10802	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) x. M ) = ( ( C ^ 2 ) / 4 ) )
35	33, 34	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) x. M ) - ( ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) x. M ) ) = ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) / 4 ) - ( ( C ^ 2 ) / 4 ) ) )
36		binom2 12979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( M + B ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) + ( 2 x. ( M x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
37	7, 8, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M + B ) ^ 2 ) = ( ( ( M ^ 2 ) + ( 2 x. ( M x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) + ( 2 x. ( M x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. M ) )
39	7	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
40	7, 8	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. B ) e. CC )
41		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( M x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( M x. B ) ) e. CC )
42	2, 40, 41	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( M x. B ) ) e. CC )
43	39, 42	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) + ( 2 x. ( M x. B ) ) ) e. CC )
44	8	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
45	43, 44, 7	adddird 10065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) + ( 2 x. ( M x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. M ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) + ( 2 x. ( M x. B ) ) ) x. M ) + ( ( B ^ 2 ) x. M ) ) )
46	39, 42, 7	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) + ( 2 x. ( M x. B ) ) ) x. M ) = ( ( ( M ^ 2 ) x. M ) + ( ( 2 x. ( M x. B ) ) x. M ) ) )
47		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 = ( 2 + 1 )
48	47	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M ^ 3 ) = ( M ^ ( 2 + 1 ) )
49		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN0
50		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( M ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( M ^ 2 ) x. M ) )
51	7, 49, 50	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( M ^ 2 ) x. M ) )
52	48, 51	syl5req 2669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) x. M ) = ( M ^ 3 ) )
53		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. B ) e. CC )
54	2, 8, 53	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. B ) e. CC )
55	54, 7, 7	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. B ) x. M ) x. M ) = ( ( 2 x. B ) x. ( M x. M ) ) )
56	10, 7, 8	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 x. M ) x. B ) = ( 2 x. ( M x. B ) ) )
57	10, 7, 8	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 x. M ) x. B ) = ( ( 2 x. B ) x. M ) )
58	56, 57	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. ( M x. B ) ) = ( ( 2 x. B ) x. M ) )
59	58	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( M x. B ) ) x. M ) = ( ( ( 2 x. B ) x. M ) x. M ) )
60	7	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. B ) x. ( M x. M ) ) )
62	55, 59, 61	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( M x. B ) ) x. M ) = ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) )
63	52, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) x. M ) + ( ( 2 x. ( M x. B ) ) x. M ) ) = ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) )
64	46, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) + ( 2 x. ( M x. B ) ) ) x. M ) = ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) )
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) + ( 2 x. ( M x. B ) ) ) x. M ) + ( ( B ^ 2 ) x. M ) ) = ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) x. M ) ) )
66	38, 45, 65	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) = ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) x. M ) ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) - ( ( 4 x. D ) x. M ) ) = ( ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) x. M ) ) - ( ( 4 x. D ) x. M ) ) )
68		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
69		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( M ^ 3 ) e. CC )
70	7, 68, 69	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M ^ 3 ) e. CC )
71	54, 39	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) e. CC )
72	70, 71	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) e. CC )
73	44, 7	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) x. M ) e. CC )
74		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 e. CC /\ D e. CC ) -> ( 4 x. D ) e. CC )
75	19, 30, 74	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 4 x. D ) e. CC )
76	75, 7	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 4 x. D ) x. M ) e. CC )
77	72, 73, 76	addsubassd 10412	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) x. M ) ) - ( ( 4 x. D ) x. M ) ) = ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) x. M ) - ( ( 4 x. D ) x. M ) ) ) )
78	44, 75, 7	subdird 10487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) = ( ( ( B ^ 2 ) x. M ) - ( ( 4 x. D ) x. M ) ) )
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) ) = ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) x. M ) - ( ( 4 x. D ) x. M ) ) ) )
80	77, 79	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( B ^ 2 ) x. M ) ) - ( ( 4 x. D ) x. M ) ) = ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) ) )
81	44, 75	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) e. CC )
82	81, 7	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) e. CC )
83	72, 82	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) ) e. CC )
84	25	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u ( C ^ 2 ) e. CC )
85	72, 82, 84	addassd 10062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) ) + -u ( C ^ 2 ) ) = ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) + -u ( C ^ 2 ) ) ) )
86	83, 25	negsubd 10398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) ) + -u ( C ^ 2 ) ) = ( ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) ) - ( C ^ 2 ) ) )
87		dquart.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) + -u ( C ^ 2 ) ) ) = 0 )
88	85, 86, 87	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) ) - ( C ^ 2 ) ) = 0 )
89	83, 25, 88	subeq0d 10400	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 3 ) + ( ( 2 x. B ) x. ( M ^ 2 ) ) ) + ( ( ( B ^ 2 ) - ( 4 x. D ) ) x. M ) ) = ( C ^ 2 ) )
90	67, 80, 89	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) - ( ( 4 x. D ) x. M ) ) = ( C ^ 2 ) )
91	18, 7	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) e. CC )
92		subsub23 10286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) e. CC /\ ( ( 4 x. D ) x. M ) e. CC /\ ( C ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) - ( ( 4 x. D ) x. M ) ) = ( C ^ 2 ) <-> ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) - ( C ^ 2 ) ) = ( ( 4 x. D ) x. M ) ) )
93	91, 76, 25, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) - ( ( 4 x. D ) x. M ) ) = ( C ^ 2 ) <-> ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) - ( C ^ 2 ) ) = ( ( 4 x. D ) x. M ) ) )
94	90, 93	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) - ( C ^ 2 ) ) = ( ( 4 x. D ) x. M ) )
95	20, 30, 7	mulassd 10063	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 4 x. D ) x. M ) = ( 4 x. ( D x. M ) ) )
96	94, 95	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) - ( C ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( D x. M ) ) )
97	96	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) - ( C ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( 4 x. ( D x. M ) ) / 4 ) )
98	91, 25, 20, 22	divsubdird 10840	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) - ( C ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) / 4 ) - ( ( C ^ 2 ) / 4 ) ) )
99	30, 7	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D x. M ) e. CC )
100	99, 20, 22	divcan3d 10806	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( D x. M ) ) / 4 ) = ( D x. M ) )
101	97, 98, 100	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) x. M ) / 4 ) - ( ( C ^ 2 ) / 4 ) ) = ( D x. M ) )
102	31, 35, 101	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) x. M ) = ( D x. M ) )
103	29, 30, 7, 27, 102	mulcan2ad 10663	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) = D )
104	17, 103	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) / 2 ) ^ 2 ) - ( ( ( C ^ 2 ) / 4 ) / M ) ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   NN0cn0 11292   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  dquart  24580