Theorem dquartlem1 24578

Description: Lemma for dquart 24580. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dquart.b	|- ( ph -> B e. CC )
dquart.c	|- ( ph -> C e. CC )
dquart.x	|- ( ph -> X e. CC )
dquart.s	|- ( ph -> S e. CC )
dquart.m	|- ( ph -> M = ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) )
dquart.m0	|- ( ph -> M =/= 0 )
dquart.i	|- ( ph -> I e. CC )
dquart.i2	|- ( ph -> ( I ^ 2 ) = ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + ( ( C / 4 ) / S ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dquartlem1	|- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 <-> ( X = ( -u S + I ) \/ X = ( -u S - I ) ) ) )

Proof of Theorem dquartlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dquart.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. CC )
2	1	sqcld 13006	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. CC )
3		dquart.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M = ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) )
4		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
5		dquart.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. CC )
6		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. CC ) -> ( 2 x. S ) e. CC )
7	4, 5, 6	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. S ) e. CC )
8	7	sqcld 13006	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) e. CC )
9	3, 8	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. CC )
10		dquart.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
11	9, 10	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + B ) e. CC )
12	11	halfcld 11277	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + B ) / 2 ) e. CC )
13	2, 12	addcld 10059	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) e. CC )
14	9	halfcld 11277	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M / 2 ) e. CC )
15	14, 1	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) x. X ) e. CC )
16		dquart.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. CC )
17		4cn 11098	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 4 e. CC )
19		4ne0 11117	. . . . . . . . 9 |- 4 =/= 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 4 =/= 0 )
21	16, 18, 20	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C / 4 ) e. CC )
22	15, 21	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) e. CC )
23		dquart.m0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M =/= 0 )
24	3, 23	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) =/= 0 )
25		sqne0 12930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. S ) e. CC -> ( ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( 2 x. S ) =/= 0 ) )
26	7, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( 2 x. S ) =/= 0 ) )
27	24, 26	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. S ) =/= 0 )
28		mulne0b 10668	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. CC ) -> ( ( 2 =/= 0 /\ S =/= 0 ) <-> ( 2 x. S ) =/= 0 ) )
29	4, 5, 28	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 =/= 0 /\ S =/= 0 ) <-> ( 2 x. S ) =/= 0 ) )
30	27, 29	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 =/= 0 /\ S =/= 0 ) )
31	30	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> S =/= 0 )
32	22, 5, 31	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) e. CC )
33	13, 32	addcld 10059	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) e. CC )
34	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. CC )
35		2ne0 11113	. . . . 5 |- 2 =/= 0
36	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
37	33, 34, 36	diveq0ad 10811	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) / 2 ) = 0 <-> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 ) )
38	2, 12, 32	addassd 10062	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = ( ( X ^ 2 ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) ) )
39	38	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) / 2 ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) ) / 2 ) )
40	12, 32	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) e. CC )
41	2, 40, 34, 36	divdird 10839	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) ) / 2 ) = ( ( ( X ^ 2 ) / 2 ) + ( ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) / 2 ) ) )
42	2, 34, 36	divrec2d 10805	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) )
43	15, 21, 5, 31	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) = ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) / S ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) )
44	14, 1, 5, 31	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( M / 2 ) x. X ) / S ) = ( ( ( M / 2 ) / S ) x. X ) )
45	5	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) = ( S x. S ) )
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( S ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( S x. S ) ) )
47		sqmul 12926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. CC ) -> ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( S ^ 2 ) ) )
48	4, 5, 47	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( S ^ 2 ) ) )
49	4	sqvali 12943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
50	49	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( S ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. 2 ) x. ( S ^ 2 ) )
51	48, 50	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) ^ 2 ) = ( ( 2 x. 2 ) x. ( S ^ 2 ) ) )
52	5	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. CC )
53	34, 34, 52	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( S ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( S ^ 2 ) ) ) )
54	3, 51, 53	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M = ( 2 x. ( 2 x. ( S ^ 2 ) ) ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( M / 2 ) = ( ( 2 x. ( 2 x. ( S ^ 2 ) ) ) / 2 ) )
56		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. CC /\ ( S ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( S ^ 2 ) ) e. CC )
57	4, 52, 56	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 2 x. ( S ^ 2 ) ) e. CC )
58	57, 34, 36	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 2 x. ( S ^ 2 ) ) ) / 2 ) = ( 2 x. ( S ^ 2 ) ) )
59	55, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M / 2 ) = ( 2 x. ( S ^ 2 ) ) )
60	34, 5, 5	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) x. S ) = ( 2 x. ( S x. S ) ) )
61	46, 59, 60	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M / 2 ) = ( ( 2 x. S ) x. S ) )
62	61	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) / S ) = ( ( ( 2 x. S ) x. S ) / S ) )
63	7, 5, 31	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. S ) x. S ) / S ) = ( 2 x. S ) )
64	62, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) / S ) = ( 2 x. S ) )
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( M / 2 ) / S ) x. X ) = ( ( 2 x. S ) x. X ) )
66	44, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( M / 2 ) x. X ) / S ) = ( ( 2 x. S ) x. X ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) / S ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) = ( ( ( 2 x. S ) x. X ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) )
68	43, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) = ( ( ( 2 x. S ) x. X ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) )
69	68	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( 2 x. S ) x. X ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) ) )
70	7, 1	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) x. X ) e. CC )
71	21, 5, 31	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C / 4 ) / S ) e. CC )
72	12, 70, 71	addsub12d 10415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( 2 x. S ) x. X ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) ) = ( ( ( 2 x. S ) x. X ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) ) )
73	69, 72	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = ( ( ( 2 x. S ) x. X ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) ) )
74	73	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. S ) x. X ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) ) / 2 ) )
75	12, 71	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) / 2 ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) e. CC )
76	70, 75, 34, 36	divdird 10839	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. S ) x. X ) + ( ( ( M + B ) / 2 ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) ) / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. S ) x. X ) / 2 ) + ( ( ( ( M + B ) / 2 ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) / 2 ) ) )
77	34, 5, 1	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) x. X ) = ( 2 x. ( S x. X ) ) )
78	77	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. S ) x. X ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( S x. X ) ) / 2 ) )
79	5, 1	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S x. X ) e. CC )
80	79, 34, 36	divcan3d 10806	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( S x. X ) ) / 2 ) = ( S x. X ) )
81	78, 80	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. S ) x. X ) / 2 ) = ( S x. X ) )
82	52	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u ( S ^ 2 ) e. CC )
83	10	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. CC )
84	82, 83	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) e. CC )
85	52, 84, 71	subsub4d 10423	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( S ^ 2 ) - ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) = ( ( S ^ 2 ) - ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + ( ( C / 4 ) / S ) ) ) )
86	9, 10, 34, 36	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M + B ) / 2 ) = ( ( M / 2 ) + ( B / 2 ) ) )
87	52	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( S ^ 2 ) ) = ( ( S ^ 2 ) + ( S ^ 2 ) ) )
88	59, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M / 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + ( S ^ 2 ) ) )
89	88	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M / 2 ) + ( B / 2 ) ) = ( ( ( S ^ 2 ) + ( S ^ 2 ) ) + ( B / 2 ) ) )
90	86, 89	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M + B ) / 2 ) = ( ( ( S ^ 2 ) + ( S ^ 2 ) ) + ( B / 2 ) ) )
91	52, 52, 83	addassd 10062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( S ^ 2 ) + ( S ^ 2 ) ) + ( B / 2 ) ) = ( ( S ^ 2 ) + ( ( S ^ 2 ) + ( B / 2 ) ) ) )
92	52, 83	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + ( B / 2 ) ) e. CC )
93	52, 92	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) - -u ( ( S ^ 2 ) + ( B / 2 ) ) ) = ( ( S ^ 2 ) + ( ( S ^ 2 ) + ( B / 2 ) ) ) )
94	52, 83	negdi2d 10406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u ( ( S ^ 2 ) + ( B / 2 ) ) = ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) )
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) - -u ( ( S ^ 2 ) + ( B / 2 ) ) ) = ( ( S ^ 2 ) - ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) ) )
96	93, 95	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + ( ( S ^ 2 ) + ( B / 2 ) ) ) = ( ( S ^ 2 ) - ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) ) )
97	90, 91, 96	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M + B ) / 2 ) = ( ( S ^ 2 ) - ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) ) )
98	97	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) / 2 ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) = ( ( ( S ^ 2 ) - ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) )
99		dquart.i2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( I ^ 2 ) = ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + ( ( C / 4 ) / S ) ) )
100	99	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) = ( ( S ^ 2 ) - ( ( -u ( S ^ 2 ) - ( B / 2 ) ) + ( ( C / 4 ) / S ) ) ) )
101	85, 98, 100	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + B ) / 2 ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) = ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) )
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) / 2 ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) / 2 ) = ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) )
103	81, 102	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. S ) x. X ) / 2 ) + ( ( ( ( M + B ) / 2 ) - ( ( C / 4 ) / S ) ) / 2 ) ) = ( ( S x. X ) + ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) )
104	74, 76, 103	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) / 2 ) = ( ( S x. X ) + ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) )
105	42, 104	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) / 2 ) + ( ( ( ( M + B ) / 2 ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) / 2 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( S x. X ) + ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) ) )
106	39, 41, 105	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) / 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( S x. X ) + ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) ) )
107	106	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) / 2 ) = 0 <-> ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( S x. X ) + ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) ) = 0 ) )
108	37, 107	bitr3d 270	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 <-> ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( S x. X ) + ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) ) = 0 ) )
109		ax-1cn 9994	. . . 4 |- 1 e. CC
110		halfcl 11257	. . . 4 |- ( 1 e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
111	109, 110	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
112		ax-1ne0 10005	. . . . 5 |- 1 =/= 0
113	109, 4, 112, 35	divne0i 10773	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) =/= 0
114	113	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) =/= 0 )
115		dquart.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. CC )
116	115	sqcld 13006	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ^ 2 ) e. CC )
117	52, 116	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) e. CC )
118	117	halfcld 11277	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) e. CC )
119	109	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
120		2cnne0 11242	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
121	120	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
122		divmuldiv 10725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. CC /\ ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) e. CC ) /\ ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) = ( ( 1 x. ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) ) / ( 2 x. 2 ) ) )
123	119, 117, 121, 121, 122	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) x. ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) = ( ( 1 x. ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) ) / ( 2 x. 2 ) ) )
124	117	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) ) = ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) )
125		2t2e4 11177	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 2 ) = 4
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. 2 ) = 4 )
127	124, 126	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 x. ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 4 ) )
128	123, 127	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) x. ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) = ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 4 ) )
129	128	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) ) = ( 4 x. ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 4 ) ) )
130	117, 18, 20	divcan2d 10803	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 4 ) ) = ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) )
131	129, 130	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) ) = ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) )
132	131	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) - ( 4 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) ) ) = ( ( S ^ 2 ) - ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) ) )
133	52, 116	nncand 10397	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) - ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) ) = ( I ^ 2 ) )
134	132, 133	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ph -> ( I ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) - ( 4 x. ( ( 1 / 2 ) x. ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) ) ) )
135	111, 114, 5, 118, 1, 115, 134	quad2 24566	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( S x. X ) + ( ( ( S ^ 2 ) - ( I ^ 2 ) ) / 2 ) ) ) = 0 <-> ( X = ( ( -u S + I ) / ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) \/ X = ( ( -u S - I ) / ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) ) ) )
136	4, 35	recidi 10756	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
137	136	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( ( -u S + I ) / ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( -u S + I ) / 1 )
138	5	negcld 10379	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u S e. CC )
139	138, 115	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u S + I ) e. CC )
140	139	div1d 10793	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u S + I ) / 1 ) = ( -u S + I ) )
141	137, 140	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u S + I ) / ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( -u S + I ) )
142	141	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( ph -> ( X = ( ( -u S + I ) / ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) <-> X = ( -u S + I ) ) )
143	136	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( ( -u S - I ) / ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( -u S - I ) / 1 )
144	138, 115	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u S - I ) e. CC )
145	144	div1d 10793	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u S - I ) / 1 ) = ( -u S - I ) )
146	143, 145	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u S - I ) / ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( -u S - I ) )
147	146	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( ph -> ( X = ( ( -u S - I ) / ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) <-> X = ( -u S - I ) ) )
148	142, 147	orbi12d 746	. 2 |- ( ph -> ( ( X = ( ( -u S + I ) / ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) \/ X = ( ( -u S - I ) / ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) ) <-> ( X = ( -u S + I ) \/ X = ( -u S - I ) ) ) )
149	108, 135, 148	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 2 ) + ( ( M + B ) / 2 ) ) + ( ( ( ( M / 2 ) x. X ) - ( C / 4 ) ) / S ) ) = 0 <-> ( X = ( -u S + I ) \/ X = ( -u S - I ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  dquart  24580