Theorem divcld 10801

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcld	|- ( ph -> ( A / B ) e. CC )

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		divcl 10691	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. CC )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> ( A / B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  dmdcan2d  10831  mulsubdivbinom2  13046  hashf1  13241  abs1m  14075  abslem2  14079  sqreulem  14099  sqreu  14100  o1fsum  14545  divrcnv  14584  divcnv  14585  geolim  14601  geolim2  14602  geo2sum  14604  geo2lim  14606  fproddiv  14691  bpolycl  14783  bpolysum  14784  bpolydiflem  14785  bpoly4  14790  eftcl  14804  efaddlem  14823  tancl  14859  tanval2  14863  qredeq  15371  pcaddlem  15592  pjthlem1  23208  iblss  23571  itgeqa  23580  iblconst  23584  iblabsr  23596  iblmulc2  23597  itgsplit  23602  dvlem  23660  dvmulbr  23702  dvcobr  23709  dvrec  23718  dvrecg  23736  dvmptdiv  23737  dvcnvlem  23739  dveflem  23742  dvsincos  23744  dvlip  23756  c1liplem1  23759  lhop1lem  23776  lhop1  23777  lhop2  23778  lhop  23779  ftc1lem4  23802  vieta1lem2  24066  vieta1  24067  elqaalem3  24076  aareccl  24081  aalioulem1  24087  taylfvallem1  24111  tayl0  24116  taylply2  24122  taylply  24123  dvtaylp  24124  taylthlem2  24128  ulmdvlem1  24154  tanregt0  24285  eff1olem  24294  argregt0  24356  argrege0  24357  argimgt0  24358  logcnlem4  24391  advlogexp  24401  logtaylsum  24407  logtayl2  24408  root1eq1  24496  logbcl  24505  cxplogb  24524  logbf  24527  angcld  24535  angrteqvd  24536  cosangneg2d  24537  angrtmuld  24538  ang180lem1  24539  ang180lem2  24540  ang180lem3  24541  ang180lem4  24542  ang180lem5  24543  lawcoslem1  24545  lawcos  24546  isosctrlem2  24549  isosctrlem3  24550  angpieqvdlem  24555  angpieqvdlem2  24556  angpieqvd  24558  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  dcubic1  24572  dcubic  24573  mcubic  24574  cubic2  24575  dquartlem1  24578  dquartlem2  24579  dquart  24580  quart1cl  24581  quart1lem  24582  quart1  24583  quartlem3  24586  quartlem4  24587  quart  24588  tanatan  24646  atantayl  24664  atantayl2  24665  atantayl3  24666  log2cnv  24671  birthdaylem2  24679  efrlim  24696  dfef2  24697  cxploglim2  24705  fsumharmonic  24738  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem4  24758  lgamgulmlem5  24759  lgamgulmlem6  24760  lgamgulm2  24762  lgamcvg2  24781  gamcvg  24782  gamcvg2lem  24785  ftalem4  24802  ftalem5  24803  basellem8  24814  logexprlim  24950  bposlem9  25017  2lgslem3d  25124  2sqlem3  25145  dchrmusum2  25183  dchrvmasum2lem  25185  dchrvmasumiflem1  25190  dchrvmasumiflem2  25191  dchrvmaeq0  25193  dchrisum0re  25202  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  dchrisum0lem3  25208  dchrisum0  25209  mudivsum  25219  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  2vmadivsumlem  25229  selberg2  25240  selberg3lem1  25246  selberg3  25248  selberg4lem1  25249  selbergr  25257  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  colinearalg  25790  axcontlem8  25851  pjhthlem1  28250  eigvalcl  28820  riesz3i  28921  bcm1n  29554  divnumden2  29564  oddpwdc  30416  signsplypnf  30627  signsply0  30628  itgexpif  30684  hgt750leme  30736  subfacval2  31169  divcnvlin  31618  bcprod  31624  iprodgam  31628  unbdqndv2lem1  32500  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem7  32509  knoppndvlem9  32511  knoppndvlem10  32512  knoppndvlem16  32518  knoppndvlem17  32519  itg2addnclem  33461  iblmulc2nc  33475  ftc1cnnclem  33483  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  areacirc  33505  cntotbnd  33595  pellexlem2  37394  pellexlem6  37398  jm2.19  37560  jm2.27c  37574  proot1ex  37779  cvgdvgrat  38512  radcnvrat  38513  hashnzfzclim  38521  bcccl  38538  bccm1k  38541  binomcxplemrat  38549  binomcxplemfrat  38550  binomcxplemnotnn0  38555  xralrple2  39570  mccllem  39829  clim1fr1  39833  0ellimcdiv  39881  coseq0  40075  fperdvper  40133  dvdivbd  40138  dvnmptdivc  40153  dvnxpaek  40157  dvnprodlem2  40162  iblsplit  40182  itgcoscmulx  40185  itgsincmulx  40190  stoweidlem11  40228  stoweidlem26  40243  stoweidlem42  40259  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  wallispi  40287  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  wallispi2  40290  stirlinglem1  40291  stirlinglem3  40293  stirlinglem4  40294  stirlinglem5  40295  stirlinglem6  40296  stirlinglem7  40297  stirlinglem13  40303  stirlinglem14  40304  stirlinglem15  40305  dirkeritg  40319  dirkercncflem1  40320  dirkercncflem2  40321  fourierdlem26  40350  fourierdlem39  40363  fourierdlem56  40379  fourierdlem62  40385  fourierdlem72  40395  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem80  40403  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fouriersw  40448  elaa2lem  40450  etransclem15  40466  etransclem20  40471  etransclem21  40472  etransclem22  40473  etransclem23  40474  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem31  40482  etransclem32  40483  etransclem33  40484  etransclem34  40485  etransclem35  40486  etransclem47  40498  etransclem48  40499  hoiqssbllem2  40837  sigardiv  41050  sharhght  41054  fmtnoprmfac2lem1  41478  fdivmptf  42335  cotcl  42493