Theorem eleclclwwlksn 26953

Description: A member of an equivalence class according to .~. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-May-2018.) (Revised by AV, 1-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlksn.w	|- W = ( N ClWWalksN G )
erclwwlksn.r	|- .~ = { <. t , u >. | ( t e. W /\ u e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) t = ( u cyclShift n ) ) }

Assertion

Ref	Expression
eleclclwwlksn	|- ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ X e. B ) -> ( Y e. B <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )

Distinct variable groups:   t, W, u   n, N, u, t   n, W   n, G   n, X   n, Y

Allowed substitution hints:   B( u, t, n)   .~ ( u, t, n)   G( u, t)   X( u, t)   Y( u, t)

Proof of Theorem eleclclwwlksn

Dummy variables x y m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlksn.w	. . . . 5 |- W = ( N ClWWalksN G )
2		erclwwlksn.r	. . . . 5 |- .~ = { <. t , u >. | ( t e. W /\ u e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) t = ( u cyclShift n ) ) }
3	1, 2	eclclwwlksn1 26952	. . . 4 |- ( B e. ( W /. .~ ) -> ( B e. ( W /. .~ ) <-> E. x e. W B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) )
4		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( y = ( x cyclShift n ) <-> Y = ( x cyclShift n ) ) )
5	4	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift n ) ) )
6	5	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift n ) ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( x cyclShift n ) = ( x cyclShift k ) )
8	7	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( Y = ( x cyclShift n ) <-> Y = ( x cyclShift k ) ) )
9	8	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift n ) <-> E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) )
10		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = X -> ( y = ( x cyclShift n ) <-> X = ( x cyclShift n ) ) )
11	10	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = X -> ( E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) X = ( x cyclShift n ) ) )
12	11	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } <-> ( X e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) X = ( x cyclShift n ) ) )
13		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = m -> ( x cyclShift n ) = ( x cyclShift m ) )
14	13	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( X = ( x cyclShift n ) <-> X = ( x cyclShift m ) ) )
15	14	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) X = ( x cyclShift n ) <-> E. m e. ( 0 ... N ) X = ( x cyclShift m ) )
16	1	eleclclwwlksnlem2 26939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( m e. ( 0 ... N ) /\ X = ( x cyclShift m ) ) /\ ( X e. W /\ x e. W ) ) -> ( E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) )
17	16	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. ( 0 ... N ) /\ X = ( x cyclShift m ) ) -> ( ( X e. W /\ x e. W ) -> ( E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )
18	17	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. m e. ( 0 ... N ) X = ( x cyclShift m ) -> ( ( X e. W /\ x e. W ) -> ( E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )
19	15, 18	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) X = ( x cyclShift n ) -> ( ( X e. W /\ x e. W ) -> ( E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )
20	19	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) X = ( x cyclShift n ) -> ( X e. W -> ( x e. W -> ( E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
21	20	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) X = ( x cyclShift n ) ) -> ( x e. W -> ( E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )
22	12, 21	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( x e. W -> ( E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )
23	22	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. W -> ( X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )
24	23	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ x e. W ) /\ B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) -> ( X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ x e. W ) /\ B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) /\ X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) -> ( E. k e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift k ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) )
26	9, 25	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ x e. W ) /\ B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) /\ X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift n ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) )
27	26	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ x e. W ) /\ B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) /\ X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) -> ( ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( x cyclShift n ) ) <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )
28	6, 27	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ x e. W ) /\ B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) /\ X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) -> ( Y e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )
29	28	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ x e. W ) /\ B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) -> ( X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( Y e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
30		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( X e. B <-> X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) )
31		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( Y e. B <-> Y e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) )
32	31	bibi1d 333	. . . . . . . . 9 |- ( B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( ( Y e. B <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) <-> ( Y e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
33	30, 32	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( ( X e. B -> ( Y e. B <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) <-> ( X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( Y e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) ) )
34	33	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ x e. W ) /\ B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) -> ( ( X e. B -> ( Y e. B <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) <-> ( X e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( Y e. { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) ) )
35	29, 34	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ x e. W ) /\ B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } ) -> ( X e. B -> ( Y e. B <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
36	35	ex 450	. . . . 5 |- ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ x e. W ) -> ( B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( X e. B -> ( Y e. B <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) ) )
37	36	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( B e. ( W /. .~ ) -> ( E. x e. W B = { y e. W | E. n e. ( 0 ... N ) y = ( x cyclShift n ) } -> ( X e. B -> ( Y e. B <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) ) )
38	3, 37	sylbid 230	. . 3 |- ( B e. ( W /. .~ ) -> ( B e. ( W /. .~ ) -> ( X e. B -> ( Y e. B <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) ) )
39	38	pm2.43i 52	. 2 |- ( B e. ( W /. .~ ) -> ( X e. B -> ( Y e. B <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
40	39	imp 445	1 |- ( ( B e. ( W /. .~ ) /\ X e. B ) -> ( Y e. B <-> ( Y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   {copab 4712  (class class class)co 6650   /.cqs 7741   0cc0 9936   ...cfz 12326   cyclShift ccsh 13534   ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by: (None)