Theorem eqlkr2 34387

Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr.d	|- D = (Scalar ` W )
eqlkr.k	|- K = ( Base ` D )
eqlkr.t	|- .x. = ( .r ` D )
eqlkr.v	|- V = ( Base ` W )
eqlkr.f	|- F = (LFnl ` W )
eqlkr.l	|- L = (LKer ` W )

Assertion

Ref	Expression
eqlkr2	|- ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) -> E. r e. K H = ( G oF .x. ( V X. { r } ) ) )

Distinct variable groups:   D, r   G, r   H, r   V, r   K, r   .x. , r   F, r   L, r   W, r

Proof of Theorem eqlkr2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr.d	. . 3 |- D = (Scalar ` W )
2		eqlkr.k	. . 3 |- K = ( Base ` D )
3		eqlkr.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` D )
4		eqlkr.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
5		eqlkr.f	. . 3 |- F = (LFnl ` W )
6		eqlkr.l	. . 3 |- L = (LKer ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	eqlkr 34386	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) -> E. r e. K A. x e. V ( H ` x ) = ( ( G ` x ) .x. r ) )
8		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) e. _V
9	4, 8	eqeltri 2697	. . . . 5 |- V e. _V
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> V e. _V )
11		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> W e. LVec )
12		simpl2l 1114	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> G e. F )
13	1, 2, 4, 5	lflf 34350	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ G e. F ) -> G : V --> K )
14	11, 12, 13	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> G : V --> K )
15		ffn 6045	. . . . 5 |- ( G : V --> K -> G Fn V )
16	14, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> G Fn V )
17		vex 3203	. . . . 5 |- r e. _V
18		fnconstg 6093	. . . . 5 |- ( r e. _V -> ( V X. { r } ) Fn V )
19	17, 18	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> ( V X. { r } ) Fn V )
20		simpl2r 1115	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> H e. F )
21	1, 2, 4, 5	lflf 34350	. . . . . 6 |- ( ( W e. LVec /\ H e. F ) -> H : V --> K )
22	11, 20, 21	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> H : V --> K )
23		ffn 6045	. . . . 5 |- ( H : V --> K -> H Fn V )
24	22, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> H Fn V )
25		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) /\ x e. V ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) )
26	17	fvconst2 6469	. . . . 5 |- ( x e. V -> ( ( V X. { r } ) ` x ) = r )
27	26	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) /\ x e. V ) -> ( ( V X. { r } ) ` x ) = r )
28	10, 16, 19, 24, 25, 27	offveqb 6919	. . 3 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) /\ r e. K ) -> ( H = ( G oF .x. ( V X. { r } ) ) <-> A. x e. V ( H ` x ) = ( ( G ` x ) .x. r ) ) )
29	28	rexbidva 3049	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) -> ( E. r e. K H = ( G oF .x. ( V X. { r } ) ) <-> E. r e. K A. x e. V ( H ` x ) = ( ( G ` x ) .x. r ) ) )
30	7, 29	mpbird 247	1 |- ( ( W e. LVec /\ ( G e. F /\ H e. F ) /\ ( L ` G ) = ( L ` H ) ) -> E. r e. K H = ( G oF .x. ( V X. { r } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   {csn 4177   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   LVecclvec 19102  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-lfl 34345  df-lkr 34373

This theorem is referenced by:  lfl1dim  34408  lfl1dim2N  34409  eqlkr4  34452