Theorem expdiophlem2 37589

Description: Lemma for expdioph 37590. Exponentiation on a restricted domain is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdiophlem2	|- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )

Proof of Theorem expdiophlem2

Dummy variables b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7879	. . . . 5 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 )
2		3nn 11186	. . . . . 6 |- 3 e. NN
3	2	jm2.27dlem3 37578	. . . . 5 |- 3 e. ( 1 ... 3 )
4		ffvelrn 6357	. . . . 5 |- ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 /\ 3 e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 3 ) e. NN0 )
5	1, 3, 4	sylancl 694	. . . 4 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 3 ) e. NN0 )
6		expdiophlem1 37588	. . . 4 |- ( ( a ` 3 ) e. NN0 -> ( ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> E. b e. NN0 E. c e. NN0 E. d e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) <-> E. b e. NN0 E. c e. NN0 E. d e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) ) )
8	7	rabbiia 3185	. 2 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | E. b e. NN0 E. c e. NN0 E. d e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) }
9		3nn0 11310	. . 3 |- 3 e. NN0
10		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( e ` 5 ) e. _V
11		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( e ` 6 ) e. _V
12		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( e ` 5 ) -> ( c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) <-> ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) )
13	12	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( e ` 5 ) -> ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) <-> ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) <-> ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) ) )
15		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( e ` 6 ) -> ( d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) <-> ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) )
16	15	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( e ` 6 ) -> ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) <-> ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) ) )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) <-> ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) ) )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> d = ( e ` 6 ) )
19		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c = ( e ` 5 ) -> ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) = ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) = ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) )
21	18, 20	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) = ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) = ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) )
23	22	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) <-> ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) )
24	23	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) <-> ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) )
25	17, 24	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) <-> ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) )
26	14, 25	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) <-> ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) )
27	26	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) )
28	27	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c = ( e ` 5 ) /\ d = ( e ` 6 ) ) -> ( ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) ) )
29	10, 11, 28	sbc2ie 3505	. . . . . . . . 9 |- ( [. ( e ` 5 ) / c ]. [. ( e ` 6 ) / d ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) )
30	29	sbcbii 3491	. . . . . . . 8 |- ( [. ( e ` 4 ) / b ]. [. ( e ` 5 ) / c ]. [. ( e ` 6 ) / d ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) <-> [. ( e ` 4 ) / b ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) )
31	30	sbcbii 3491	. . . . . . 7 |- ( [. ( e |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( e ` 4 ) / b ]. [. ( e ` 5 ) / c ]. [. ( e ` 6 ) / d ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) <-> [. ( e |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( e ` 4 ) / b ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) )
32		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- e e. _V
33	32	resex 5443	. . . . . . . 8 |- ( e |` ( 1 ... 3 ) ) e. _V
34		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( e ` 4 ) e. _V
35		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 = ( 1 + 1 )
36		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 = ( 2 + 1 )
37		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... 3 ) C_ ( 1 ... 3 )
38	36, 37	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... 2 ) C_ ( 1 ... 3 )
39	35, 38	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... 1 ) C_ ( 1 ... 3 )
40		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN
41	40	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ( 1 ... 1 )
42	39, 41	sselii 3600	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ( 1 ... 3 )
43	42	jm2.27dlem1 37576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 1 ) = ( e ` 1 ) )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
45		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
46	45	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ( 1 ... 2 )
47	46, 36, 45	jm2.27dlem2 37577	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ( 1 ... 3 )
48	47	jm2.27dlem1 37576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) )
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 2 ) e. NN <-> ( e ` 2 ) e. NN ) )
50	44, 49	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) <-> ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) <-> ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) ) )
52	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
53		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( e ` 4 ) -> b = ( e ` 4 ) )
54	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 2 ) + 1 ) = ( ( e ` 2 ) + 1 ) )
55	43, 54	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) )
56	53, 55	eqeqan12rd 2640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) <-> ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) )
57	52, 56	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) <-> ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) ) )
58		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( e ` 4 ) -> ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
60	53, 48	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( b Yrm ( a ` 2 ) ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) )
61	60	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) <-> ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) )
62	59, 61	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) ) )
63	53, 48	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( b Xrm ( a ` 2 ) ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) )
64	63	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) <-> ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) )
65	59, 64	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) ) )
66	3	jm2.27dlem1 37576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 3 ) = ( e ` 3 ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( a ` 3 ) = ( e ` 3 ) )
68		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = ( e ` 4 ) -> ( 2 x. b ) = ( 2 x. ( e ` 4 ) ) )
69	68, 43	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) = ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) )
70	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) = ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) = ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) )
72	69, 71	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) )
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
74	67, 73	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) <-> ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) ) )
75		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> b = ( e ` 4 ) )
76	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( a ` 1 ) = ( e ` 1 ) )
77	75, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( b - ( a ` 1 ) ) = ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) )
78	77	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) = ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) )
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) = ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) )
80	79, 67	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) = ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) )
81	73, 80	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) <-> ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) )
82	74, 81	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) <-> ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) )
83	65, 82	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) <-> ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) )
84	62, 83	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) <-> ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) )
85	57, 84	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) ) )
86	51, 85	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( ( a = ( e |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( e ` 4 ) ) -> ( ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) ) ) )
87	33, 34, 86	sbc2ie 3505	. . . . . . 7 |- ( [. ( e |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( e ` 4 ) / b ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) ) )
88	31, 87	bitri 264	. . . . . 6 |- ( [. ( e |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( e ` 4 ) / b ]. [. ( e ` 5 ) / c ]. [. ( e ` 6 ) / d ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) ) )
89	88	a1i 11	. . . . 5 |- ( e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) -> ( [. ( e |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( e ` 4 ) / b ]. [. ( e ` 5 ) / c ]. [. ( e ` 6 ) / d ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) ) ) )
90	89	rabbiia 3185	. . . 4 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | [. ( e |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( e ` 4 ) / b ]. [. ( e ` 5 ) / c ]. [. ( e ` 6 ) / d ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) } = { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) ) }
91		6nn0 11313	. . . . . . 7 |- 6 e. NN0
92		2z 11409	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
93		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... 6 ) e. _V
94		df-4 11081	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 = ( 3 + 1 )
95		df-5 11082	. . . . . . . . . . . . 13 |- 5 = ( 4 + 1 )
96		df-6 11083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 = ( 5 + 1 )
97		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... 6 ) C_ ( 1 ... 6 )
98	96, 97	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... 5 ) C_ ( 1 ... 6 )
99	95, 98	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... 4 ) C_ ( 1 ... 6 )
100	94, 99	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... 3 ) C_ ( 1 ... 6 )
101	36, 100	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... 2 ) C_ ( 1 ... 6 )
102	35, 101	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... 1 ) C_ ( 1 ... 6 )
103	102, 41	sselii 3600	. . . . . . . 8 |- 1 e. ( 1 ... 6 )
104		mzpproj 37300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... 6 ) e. _V /\ 1 e. ( 1 ... 6 ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
105	93, 103, 104	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
106		eluzrabdioph 37370	. . . . . . 7 |- ( ( 6 e. NN0 /\ 2 e. ZZ /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) } e. (Dioph ` 6 ) )
107	91, 92, 105, 106	mp3an 1424	. . . . . 6 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) } e. (Dioph ` 6 )
108	101, 46	sselii 3600	. . . . . . . 8 |- 2 e. ( 1 ... 6 )
109		mzpproj 37300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... 6 ) e. _V /\ 2 e. ( 1 ... 6 ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
110	93, 108, 109	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
111		elnnrabdioph 37371	. . . . . . 7 |- ( ( 6 e. NN0 /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( e ` 2 ) e. NN } e. (Dioph ` 6 ) )
112	91, 110, 111	mp2an 708	. . . . . 6 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( e ` 2 ) e. NN } e. (Dioph ` 6 )
113		anrabdioph 37344	. . . . . 6 |- ( ( { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) } e. (Dioph ` 6 ) /\ { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( e ` 2 ) e. NN } e. (Dioph ` 6 ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) } e. (Dioph ` 6 ) )
114	107, 112, 113	mp2an 708	. . . . 5 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) } e. (Dioph ` 6 )
115		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) -> e : ( 1 ... 6 ) --> NN0 )
116		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( e : ( 1 ... 6 ) --> NN0 /\ 2 e. ( 1 ... 6 ) ) -> ( e ` 2 ) e. NN0 )
117	115, 108, 116	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) -> ( e ` 2 ) e. NN0 )
118		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( e ` 2 ) e. NN0 -> ( ( e ` 2 ) + 1 ) e. NN0 )
119		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) -> ( ( e ` 1 ) Yrm b ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) )
120	119	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) -> ( ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) <-> ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) )
121	120	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) -> ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) <-> ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) ) )
122	121	ceqsrexv 3336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( e ` 2 ) + 1 ) e. NN0 -> ( E. b e. NN0 ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) <-> ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) ) )
123	117, 118, 122	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) -> ( E. b e. NN0 ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) <-> ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) ) )
124	123	bicomd 213	. . . . . . . 8 |- ( e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) -> ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) <-> E. b e. NN0 ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) ) )
125	124	rabbiia 3185	. . . . . . 7 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) } = { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | E. b e. NN0 ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) }
126		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- a e. _V
127	126	resex 5443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a |` ( 1 ... 6 ) ) e. _V
128		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a ` 7 ) e. _V
129		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( a ` 7 ) -> b = ( a ` 7 ) )
130	108	jm2.27dlem1 37576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) -> ( e ` 2 ) = ( a ` 2 ) )
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) -> ( ( e ` 2 ) + 1 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) )
132	129, 131	eqeqan12rd 2640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) /\ b = ( a ` 7 ) ) -> ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) <-> ( a ` 7 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) )
133	103	jm2.27dlem1 37576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) -> ( e ` 1 ) = ( a ` 1 ) )
134	133	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) /\ b = ( a ` 7 ) ) -> ( e ` 1 ) = ( a ` 1 ) )
135	134	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) /\ b = ( a ` 7 ) ) -> ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
136		4nn 11187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. NN
137	136	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. ( 1 ... 4 )
138	99, 137	sselii 3600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. ( 1 ... 6 )
139	138	jm2.27dlem1 37576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) -> ( e ` 4 ) = ( a ` 4 ) )
140	139	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) /\ b = ( a ` 7 ) ) -> ( e ` 4 ) = ( a ` 4 ) )
141	133, 129	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) /\ b = ( a ` 7 ) ) -> ( ( e ` 1 ) Yrm b ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) )
142	140, 141	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) /\ b = ( a ` 7 ) ) -> ( ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) <-> ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) )
143	135, 142	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) /\ b = ( a ` 7 ) ) -> ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) <-> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) ) )
144	132, 143	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( e = ( a |` ( 1 ... 6 ) ) /\ b = ( a ` 7 ) ) -> ( ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) <-> ( ( a ` 7 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) ) ) )
145	127, 128, 144	sbc2ie 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( [. ( a |` ( 1 ... 6 ) ) / e ]. [. ( a ` 7 ) / b ]. ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) <-> ( ( a ` 7 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) ) )
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) -> ( [. ( a |` ( 1 ... 6 ) ) / e ]. [. ( a ` 7 ) / b ]. ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) <-> ( ( a ` 7 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) ) ) )
147	146	rabbiia 3185	. . . . . . . . 9 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | [. ( a |` ( 1 ... 6 ) ) / e ]. [. ( a ` 7 ) / b ]. ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | ( ( a ` 7 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) ) }
148		7nn0 11314	. . . . . . . . . . 11 |- 7 e. NN0
149		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... 7 ) e. _V
150		7nn 11190	. . . . . . . . . . . . 13 |- 7 e. NN
151	150	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . . . . 12 |- 7 e. ( 1 ... 7 )
152		mzpproj 37300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... 7 ) e. _V /\ 7 e. ( 1 ... 7 ) ) -> ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> ( a ` 7 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) ) )
153	149, 151, 152	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> ( a ` 7 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) )
154		df-7 11084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 7 = ( 6 + 1 )
155		6nn 11189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 e. NN
156	108, 154, 155	jm2.27dlem2 37577	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ( 1 ... 7 )
157		mzpproj 37300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... 7 ) e. _V /\ 2 e. ( 1 ... 7 ) ) -> ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> ( a ` 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) ) )
158	149, 156, 157	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> ( a ` 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) )
159		1z 11407	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
160		mzpconstmpt 37303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... 7 ) e. _V /\ 1 e. ZZ ) -> ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) ) )
161	149, 159, 160	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) )
162		mzpaddmpt 37304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> ( a ` 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) ) /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) ) ) -> ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) ) )
163	158, 161, 162	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) )
164		eqrabdioph 37341	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 7 e. NN0 /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> ( a ` 7 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) ) /\ ( a e. ( ZZ ^m ( 1 ... 7 ) ) |-> ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 7 ) ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | ( a ` 7 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) } e. (Dioph ` 7 ) )
165	148, 153, 163, 164	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | ( a ` 7 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) } e. (Dioph ` 7 )
166		rmydioph 37581	. . . . . . . . . . 11 |- { b e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( b ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( ( b ` 1 ) Yrm ( b ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )
167		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( a ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( a ` 7 ) /\ ( b ` 3 ) = ( a ` 4 ) ) -> ( b ` 1 ) = ( a ` 1 ) )
168	167	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( a ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( a ` 7 ) /\ ( b ` 3 ) = ( a ` 4 ) ) -> ( ( b ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
169		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( a ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( a ` 7 ) /\ ( b ` 3 ) = ( a ` 4 ) ) -> ( b ` 3 ) = ( a ` 4 ) )
170		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( a ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( a ` 7 ) /\ ( b ` 3 ) = ( a ` 4 ) ) -> ( b ` 2 ) = ( a ` 7 ) )
171	167, 170	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( a ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( a ` 7 ) /\ ( b ` 3 ) = ( a ` 4 ) ) -> ( ( b ` 1 ) Yrm ( b ` 2 ) ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) )
172	169, 171	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( a ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( a ` 7 ) /\ ( b ` 3 ) = ( a ` 4 ) ) -> ( ( b ` 3 ) = ( ( b ` 1 ) Yrm ( b ` 2 ) ) <-> ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) )
173	168, 172	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( a ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( a ` 7 ) /\ ( b ` 3 ) = ( a ` 4 ) ) -> ( ( ( b ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( ( b ` 1 ) Yrm ( b ` 2 ) ) ) <-> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) ) )
174	103, 154, 155	jm2.27dlem2 37577	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ( 1 ... 7 )
175	138, 154, 155	jm2.27dlem2 37577	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. ( 1 ... 7 )
176	173, 174, 151, 175	rabren3dioph 37379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 7 e. NN0 /\ { b e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( b ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( ( b ` 1 ) Yrm ( b ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) } e. (Dioph ` 7 ) )
177	148, 166, 176	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) } e. (Dioph ` 7 )
178		anrabdioph 37344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | ( a ` 7 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) } e. (Dioph ` 7 ) /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) } e. (Dioph ` 7 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | ( ( a ` 7 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) ) } e. (Dioph ` 7 ) )
179	165, 177, 178	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | ( ( a ` 7 ) = ( ( a ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 4 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 7 ) ) ) ) } e. (Dioph ` 7 )
180	147, 179	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | [. ( a |` ( 1 ... 6 ) ) / e ]. [. ( a ` 7 ) / b ]. ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) } e. (Dioph ` 7 )
181	154	rexfrabdioph 37359	. . . . . . . 8 |- ( ( 6 e. NN0 /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 7 ) ) | [. ( a |` ( 1 ... 6 ) ) / e ]. [. ( a ` 7 ) / b ]. ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) } e. (Dioph ` 7 ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | E. b e. NN0 ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) )
182	91, 180, 181	mp2an 708	. . . . . . 7 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | E. b e. NN0 ( b = ( ( e ` 2 ) + 1 ) /\ ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm b ) ) ) } e. (Dioph ` 6 )
183	125, 182	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 )
184		rmydioph 37581	. . . . . . . 8 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )
185		simp1 1061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 5 ) ) -> ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) )
186	185	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 5 ) ) -> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
187		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 5 ) ) -> ( a ` 3 ) = ( e ` 5 ) )
188		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 5 ) ) -> ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) )
189	185, 188	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 5 ) ) -> ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) )
190	187, 189	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 5 ) ) -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) <-> ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) )
191	186, 190	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 5 ) ) -> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) ) )
192		5nn 11188	. . . . . . . . . . 11 |- 5 e. NN
193	192	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. ( 1 ... 5 )
194	193, 96, 192	jm2.27dlem2 37577	. . . . . . . . 9 |- 5 e. ( 1 ... 6 )
195	191, 138, 108, 194	rabren3dioph 37379	. . . . . . . 8 |- ( ( 6 e. NN0 /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) )
196	91, 184, 195	mp2an 708	. . . . . . 7 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 )
197		rmxdioph 37583	. . . . . . . . 9 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )
198		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 6 ) ) -> ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) )
199	198	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 6 ) ) -> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
200		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 6 ) ) -> ( a ` 3 ) = ( e ` 6 ) )
201		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 6 ) ) -> ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) )
202	198, 201	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 6 ) ) -> ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) )
203	200, 202	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 6 ) ) -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) <-> ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) )
204	199, 203	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( e ` 4 ) /\ ( a ` 2 ) = ( e ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( e ` 6 ) ) -> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) ) )
205	155	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. ( 1 ... 6 )
206	204, 138, 108, 205	rabren3dioph 37379	. . . . . . . . 9 |- ( ( 6 e. NN0 /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) )
207	91, 197, 206	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 )
208	100, 3	sselii 3600	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ( 1 ... 6 )
209		mzpproj 37300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... 6 ) e. _V /\ 3 e. ( 1 ... 6 ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
210	93, 208, 209	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
211		mzpconstmpt 37303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... 6 ) e. _V /\ 2 e. ZZ ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> 2 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
212	93, 92, 211	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> 2 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
213		mzpproj 37300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... 6 ) e. _V /\ 4 e. ( 1 ... 6 ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 4 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
214	93, 138, 213	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 4 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
215		mzpmulmpt 37305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> 2 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 4 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( 2 x. ( e ` 4 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
216	212, 214, 215	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( 2 x. ( e ` 4 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
217		mzpmulmpt 37305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( 2 x. ( e ` 4 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
218	216, 105, 217	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
219		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
220		mzpexpmpt 37308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ 2 e. NN0 ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
221	105, 219, 220	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
222		mzpsubmpt 37306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
223	218, 221, 222	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
224		mzpconstmpt 37303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... 6 ) e. _V /\ 1 e. ZZ ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
225	93, 159, 224	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
226		mzpsubmpt 37306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
227	223, 225, 226	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
228		ltrabdioph 37372	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 6 e. NN0 /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) } e. (Dioph ` 6 ) )
229	91, 210, 227, 228	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) } e. (Dioph ` 6 )
230		mzpproj 37300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... 6 ) e. _V /\ 6 e. ( 1 ... 6 ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 6 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
231	93, 205, 230	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 6 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
232		mzpsubmpt 37306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 4 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
233	214, 105, 232	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
234		mzpproj 37300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... 6 ) e. _V /\ 5 e. ( 1 ... 6 ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 5 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
235	93, 194, 234	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 5 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
236		mzpmulmpt 37305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 5 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
237	233, 235, 236	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
238		mzpsubmpt 37306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 6 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
239	231, 237, 238	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
240		mzpsubmpt 37306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( e ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) )
241	239, 210, 240	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) )
242		dvdsrabdioph 37374	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 6 e. NN0 /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) /\ ( e e. ( ZZ ^m ( 1 ... 6 ) ) |-> ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 6 ) ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) } e. (Dioph ` 6 ) )
243	91, 227, 241, 242	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) } e. (Dioph ` 6 )
244		anrabdioph 37344	. . . . . . . . 9 |- ( ( { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) } e. (Dioph ` 6 ) /\ { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) } e. (Dioph ` 6 ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) )
245	229, 243, 244	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 )
246		anrabdioph 37344	. . . . . . . 8 |- ( ( { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) /\ { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) )
247	207, 245, 246	mp2an 708	. . . . . . 7 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 )
248		anrabdioph 37344	. . . . . . 7 |- ( ( { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) /\ { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) )
249	196, 247, 248	mp2an 708	. . . . . 6 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 )
250		anrabdioph 37344	. . . . . 6 |- ( ( { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) /\ { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) )
251	183, 249, 250	mp2an 708	. . . . 5 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 )
252		anrabdioph 37344	. . . . 5 |- ( ( { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) } e. (Dioph ` 6 ) /\ { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) ) -> { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) )
253	114, 251, 252	mp2an 708	. . . 4 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( e ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 4 ) = ( ( e ` 1 ) Yrm ( ( e ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 5 ) = ( ( e ` 4 ) Yrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( e ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( e ` 6 ) = ( ( e ` 4 ) Xrm ( e ` 2 ) ) ) /\ ( ( e ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. ( e ` 4 ) ) x. ( e ` 1 ) ) - ( ( e ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( e ` 6 ) - ( ( ( e ` 4 ) - ( e ` 1 ) ) x. ( e ` 5 ) ) ) - ( e ` 3 ) ) ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 )
254	90, 253	eqeltri 2697	. . 3 |- { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | [. ( e |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( e ` 4 ) / b ]. [. ( e ` 5 ) / c ]. [. ( e ` 6 ) / d ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 )
255	94, 95, 96	3rexfrabdioph 37361	. . 3 |- ( ( 3 e. NN0 /\ { e e. ( NN0 ^m ( 1 ... 6 ) ) | [. ( e |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( e ` 4 ) / b ]. [. ( e ` 5 ) / c ]. [. ( e ` 6 ) / d ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 6 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | E. b e. NN0 E. c e. NN0 E. d e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 3 ) )
256	9, 254, 255	mp2an 708	. 2 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | E. b e. NN0 E. c e. NN0 E. d e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( ( a ` 2 ) + 1 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ c = ( b Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( b e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ d = ( b Xrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( a ` 3 ) < ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. b ) x. ( a ` 1 ) ) - ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( d - ( ( b - ( a ` 1 ) ) x. c ) ) - ( a ` 3 ) ) ) ) ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )
257	8, 256	eqeltri 2697	1 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) ^ ( a ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   || cdvds 14983  mzPolycmzp 37285  Diophcdioph 37318   X_rm crmx 37464   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  expdioph  37590