Theorem rmxdioph 37583

Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxdioph	|- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )

Proof of Theorem rmxdioph

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 )
3		df-3 11080	. . . . . . . . . 10 |- 3 = ( 2 + 1 )
4		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... 3 ) C_ ( 1 ... 3 )
5	3, 4	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... 2 ) C_ ( 1 ... 3 )
6		2nn 11185	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
7	6	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ( 1 ... 2 )
8	5, 7	sselii 3600	. . . . . . . 8 |- 2 e. ( 1 ... 3 )
9		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 /\ 2 e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 2 ) e. NN0 )
10	2, 8, 9	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 2 ) e. NN0 )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( a ` 2 ) e. NN0 )
12		3nn 11186	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN
13	12	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . 8 |- 3 e. ( 1 ... 3 )
14		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 /\ 3 e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 3 ) e. NN0 )
15	2, 13, 14	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 3 ) e. NN0 )
16	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( a ` 3 ) e. NN0 )
17		rmxdiophlem 37582	. . . . . 6 |- ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 2 ) e. NN0 /\ ( a ` 3 ) e. NN0 ) -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) <-> E. b e. NN0 ( b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) )
18	1, 11, 16, 17	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) /\ ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) <-> E. b e. NN0 ( b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) )
19	18	pm5.32da 673	. . . 4 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ E. b e. NN0 ( b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) ) )
20		anass 681	. . . . . 6 |- ( ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) <-> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) )
21	20	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. b e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) <-> E. b e. NN0 ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) )
22		r19.42v 3092	. . . . 5 |- ( E. b e. NN0 ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) <-> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ E. b e. NN0 ( b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) )
23	21, 22	bitr2i 265	. . . 4 |- ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ E. b e. NN0 ( b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) <-> E. b e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) )
24	19, 23	syl6bb 276	. . 3 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) ) <-> E. b e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) )
25	24	rabbiia 3185	. 2 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) ) } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | E. b e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) }
26		3nn0 11310	. . 3 |- 3 e. NN0
27		vex 3203	. . . . . . . 8 |- c e. _V
28	27	resex 5443	. . . . . . 7 |- ( c |` ( 1 ... 3 ) ) e. _V
29		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( c ` 4 ) e. _V
30		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
31	30, 5	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... 1 ) C_ ( 1 ... 3 )
32		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN
33	32	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ( 1 ... 1 )
34	31, 33	sselii 3600	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ( 1 ... 3 )
35	34	jm2.27dlem1 37576	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 1 ) = ( c ` 1 ) )
36	35	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( c ` 4 ) ) -> ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
38		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( c ` 4 ) ) -> b = ( c ` 4 ) )
39	8	jm2.27dlem1 37576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 2 ) = ( c ` 2 ) )
40	35, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( c ` 4 ) ) -> ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) )
42	38, 41	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( c ` 4 ) ) -> ( b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) <-> ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) )
43	37, 42	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( c ` 4 ) ) -> ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) <-> ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) ) )
44	13	jm2.27dlem1 37576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( a ` 3 ) = ( c ` 3 ) )
45	44	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) = ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( c ` 4 ) ) -> ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) = ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) )
47	35	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) = ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) )
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) )
49		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( c ` 4 ) -> ( b ^ 2 ) = ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) )
50	48, 49	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( c ` 4 ) ) -> ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) = ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) )
51	46, 50	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( c ` 4 ) ) -> ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) )
52	51	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( c ` 4 ) ) -> ( ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 <-> ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) = 1 ) )
53	43, 52	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( a = ( c |` ( 1 ... 3 ) ) /\ b = ( c ` 4 ) ) -> ( ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) <-> ( ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) )
54	28, 29, 53	sbc2ie 3505	. . . . . 6 |- ( [. ( c |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( c ` 4 ) / b ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) <-> ( ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) = 1 ) )
55	54	a1i 11	. . . . 5 |- ( c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) -> ( [. ( c |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( c ` 4 ) / b ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) <-> ( ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) )
56	55	rabbiia 3185	. . . 4 |- { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | [. ( c |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( c ` 4 ) / b ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) } = { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | ( ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) = 1 ) }
57		4nn0 11311	. . . . . 6 |- 4 e. NN0
58		rmydioph 37581	. . . . . 6 |- { b e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( b ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( ( b ` 1 ) Yrm ( b ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )
59		simp1 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( c ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( c ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( c ` 4 ) ) -> ( b ` 1 ) = ( c ` 1 ) )
60	59	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( c ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( c ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( c ` 4 ) ) -> ( ( b ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
61		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( c ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( c ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( c ` 4 ) ) -> ( b ` 3 ) = ( c ` 4 ) )
62		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( c ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( c ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( c ` 4 ) ) -> ( b ` 2 ) = ( c ` 2 ) )
63	59, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( c ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( c ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( c ` 4 ) ) -> ( ( b ` 1 ) Yrm ( b ` 2 ) ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) )
64	61, 63	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( c ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( c ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( c ` 4 ) ) -> ( ( b ` 3 ) = ( ( b ` 1 ) Yrm ( b ` 2 ) ) <-> ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) )
65	60, 64	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ( b ` 1 ) = ( c ` 1 ) /\ ( b ` 2 ) = ( c ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( c ` 4 ) ) -> ( ( ( b ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( ( b ` 1 ) Yrm ( b ` 2 ) ) ) <-> ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) ) )
66		df-4 11081	. . . . . . . . . . 11 |- 4 = ( 3 + 1 )
67		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... 4 ) C_ ( 1 ... 4 )
68	66, 67	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... 3 ) C_ ( 1 ... 4 )
69	3, 68	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... 2 ) C_ ( 1 ... 4 )
70	30, 69	jm2.27dlem5 37580	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... 1 ) C_ ( 1 ... 4 )
71	70, 33	sselii 3600	. . . . . . 7 |- 1 e. ( 1 ... 4 )
72	69, 7	sselii 3600	. . . . . . 7 |- 2 e. ( 1 ... 4 )
73		4nn 11187	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
74	73	jm2.27dlem3 37578	. . . . . . 7 |- 4 e. ( 1 ... 4 )
75	65, 71, 72, 74	rabren3dioph 37379	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. NN0 /\ { b e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( b ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b ` 3 ) = ( ( b ` 1 ) Yrm ( b ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 4 ) )
76	57, 58, 75	mp2an 708	. . . . 5 |- { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 4 )
77		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... 4 ) e. _V
78	68, 13	sselii 3600	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ( 1 ... 4 )
79		mzpproj 37300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... 4 ) e. _V /\ 3 e. ( 1 ... 4 ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( c ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) )
80	77, 78, 79	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( c ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) )
81		2nn0 11309	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
82		mzpexpmpt 37308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( c ` 3 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) /\ 2 e. NN0 ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) )
83	80, 81, 82	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) )
84		mzpproj 37300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... 4 ) e. _V /\ 1 e. ( 1 ... 4 ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( c ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) )
85	77, 71, 84	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( c ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) )
86		mzpexpmpt 37308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( c ` 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) /\ 2 e. NN0 ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) )
87	85, 81, 86	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) )
88		1z 11407	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
89		mzpconstmpt 37303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... 4 ) e. _V /\ 1 e. ZZ ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) )
90	77, 88, 89	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) )
91		mzpsubmpt 37306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) )
92	87, 90, 91	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) )
93		mzpproj 37300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... 4 ) e. _V /\ 4 e. ( 1 ... 4 ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( c ` 4 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) )
94	77, 74, 93	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( c ` 4 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) )
95		mzpexpmpt 37308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( c ` 4 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) /\ 2 e. NN0 ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) )
96	94, 81, 95	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) )
97		mzpmulmpt 37305	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) )
98	92, 96, 97	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) )
99		mzpsubmpt 37306	. . . . . . 7 |- ( ( ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) ) -> ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) )
100	83, 98, 99	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) )
101		eqrabdioph 37341	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. NN0 /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) /\ ( c e. ( ZZ ^m ( 1 ... 4 ) ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` ( 1 ... 4 ) ) ) -> { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) = 1 } e. (Dioph ` 4 ) )
102	57, 100, 90, 101	mp3an 1424	. . . . 5 |- { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) = 1 } e. (Dioph ` 4 )
103		anrabdioph 37344	. . . . 5 |- ( ( { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 4 ) /\ { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) = 1 } e. (Dioph ` 4 ) ) -> { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | ( ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) = 1 ) } e. (Dioph ` 4 ) )
104	76, 102, 103	mp2an 708	. . . 4 |- { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | ( ( ( c ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( c ` 4 ) = ( ( c ` 1 ) Yrm ( c ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( c ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( c ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( c ` 4 ) ^ 2 ) ) ) = 1 ) } e. (Dioph ` 4 )
105	56, 104	eqeltri 2697	. . 3 |- { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | [. ( c |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( c ` 4 ) / b ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) } e. (Dioph ` 4 )
106	66	rexfrabdioph 37359	. . 3 |- ( ( 3 e. NN0 /\ { c e. ( NN0 ^m ( 1 ... 4 ) ) | [. ( c |` ( 1 ... 3 ) ) / a ]. [. ( c ` 4 ) / b ]. ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) } e. (Dioph ` 4 ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | E. b e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) } e. (Dioph ` 3 ) )
107	26, 105, 106	mp2an 708	. 2 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | E. b e. NN0 ( ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b = ( ( a ` 1 ) Yrm ( a ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( a ` 3 ) ^ 2 ) - ( ( ( ( a ` 1 ) ^ 2 ) - 1 ) x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) } e. (Dioph ` 3 )
108	25, 107	eqeltri 2697	1 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ( ( a ` 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( a ` 3 ) = ( ( a ` 1 ) Xrm ( a ` 2 ) ) ) } e. (Dioph ` 3 )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   x. cmul 9941   - cmin 10266   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860  mzPolycmzp 37285  Diophcdioph 37318   X_rm crmx 37464   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  expdiophlem2  37589