Theorem eupthp1 27076

Description: Append one path segment to an Eulerian path <. F , P >. to become an Eulerian path <. H , Q >. of the supergraph S obtained by adding the new edge to the graph G. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 7-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthp1.v	|- V = (Vtx ` G )
eupthp1.i	|- I = (iEdg ` G )
eupthp1.f	|- ( ph -> Fun I )
eupthp1.a	|- ( ph -> I e. Fin )
eupthp1.b	|- ( ph -> B e. _V )
eupthp1.c	|- ( ph -> C e. V )
eupthp1.d	|- ( ph -> -. B e. dom I )
eupthp1.p	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupthp1.n	|- N = ( # ` F )
eupthp1.e	|- ( ph -> E e. (Edg ` G ) )
eupthp1.x	|- ( ph -> { ( P ` N ) , C } C_ E )
eupthp1.u	|- (iEdg ` S ) = ( I u. { <. B , E >. } )
eupthp1.h	|- H = ( F u. { <. N , B >. } )
eupthp1.q	|- Q = ( P u. { <. ( N + 1 ) , C >. } )
eupthp1.s	|- (Vtx ` S ) = V
eupthp1.l	|- ( ( ph /\ C = ( P ` N ) ) -> E = { C } )

Assertion

Ref	Expression
eupthp1	|- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Proof of Theorem eupthp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthp1.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		eupthp1.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		eupthp1.f	. . 3 |- ( ph -> Fun I )
4		eupthp1.a	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
5		eupthp1.b	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
6		eupthp1.c	. . 3 |- ( ph -> C e. V )
7		eupthp1.d	. . 3 |- ( ph -> -. B e. dom I )
8		eupthp1.p	. . . 4 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
9		eupthiswlk 27072	. . . 4 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ph -> F (Walks ` G ) P )
11		eupthp1.n	. . 3 |- N = ( # ` F )
12		eupthp1.e	. . 3 |- ( ph -> E e. (Edg ` G ) )
13		eupthp1.x	. . 3 |- ( ph -> { ( P ` N ) , C } C_ E )
14		eupthp1.u	. . . 4 |- (iEdg ` S ) = ( I u. { <. B , E >. } )
15	14	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I u. { <. B , E >. } ) )
16		eupthp1.h	. . 3 |- H = ( F u. { <. N , B >. } )
17		eupthp1.q	. . 3 |- Q = ( P u. { <. ( N + 1 ) , C >. } )
18		eupthp1.s	. . . 4 |- (Vtx ` S ) = V
19	18	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` S ) = V )
20		eupthp1.l	. . 3 |- ( ( ph /\ C = ( P ` N ) ) -> E = { C } )
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20	wlkp1 26578	. 2 |- ( ph -> H (Walks ` S ) Q )
22	2	eupthi 27063	. . . . 5 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> ( F (Walks ` G ) P /\ F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> dom I ) )
23	11	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( # ` F ) = N
24	23	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ N )
25		f1oeq2 6128	. . . . . . . 8 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ N ) -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> dom I <-> F : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> dom I ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> dom I <-> F : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> dom I )
27	26	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> dom I -> F : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> dom I )
28	27	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( F (Walks ` G ) P /\ F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-onto-> dom I ) -> F : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> dom I )
29	8, 22, 28	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> F : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> dom I )
30		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( # ` F ) e. _V
31	11, 30	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- N e. _V
32		f1osng 6177	. . . . . 6 |- ( ( N e. _V /\ B e. _V ) -> { <. N , B >. } : { N } -1-1-onto-> { B } )
33	31, 5, 32	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> { <. N , B >. } : { N } -1-1-onto-> { B } )
34		dmsnopg 5606	. . . . . . 7 |- ( E e. (Edg ` G ) -> dom { <. B , E >. } = { B } )
35	12, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. B , E >. } = { B } )
36	35	f1oeq3d 6134	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. N , B >. } : { N } -1-1-onto-> dom { <. B , E >. } <-> { <. N , B >. } : { N } -1-1-onto-> { B } ) )
37	33, 36	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> { <. N , B >. } : { N } -1-1-onto-> dom { <. B , E >. } )
38		fzodisjsn 12505	. . . . 5 |- ( ( 0..^ N ) i^i { N } ) = (/)
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0..^ N ) i^i { N } ) = (/) )
40	35	ineq2d 3814	. . . . 5 |- ( ph -> ( dom I i^i dom { <. B , E >. } ) = ( dom I i^i { B } ) )
41		disjsn 4246	. . . . . 6 |- ( ( dom I i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. dom I )
42	7, 41	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> ( dom I i^i { B } ) = (/) )
43	40, 42	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( dom I i^i dom { <. B , E >. } ) = (/) )
44		f1oun 6156	. . . 4 |- ( ( ( F : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> dom I /\ { <. N , B >. } : { N } -1-1-onto-> dom { <. B , E >. } ) /\ ( ( ( 0..^ N ) i^i { N } ) = (/) /\ ( dom I i^i dom { <. B , E >. } ) = (/) ) ) -> ( F u. { <. N , B >. } ) : ( ( 0..^ N ) u. { N } ) -1-1-onto-> ( dom I u. dom { <. B , E >. } ) )
45	29, 37, 39, 43, 44	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ph -> ( F u. { <. N , B >. } ) : ( ( 0..^ N ) u. { N } ) -1-1-onto-> ( dom I u. dom { <. B , E >. } ) )
46	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> H = ( F u. { <. N , B >. } ) )
47	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16	wlkp1lem2 26571	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` H ) = ( N + 1 ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` H ) ) = ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
49		wlkcl 26511	. . . . . . . 8 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( # ` F ) e. NN0 )
50	11	eleq1i 2692	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 <-> ( # ` F ) e. NN0 )
51		elnn0uz 11725	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 <-> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
52	50, 51	sylbb1 227	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
53	49, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( F (Walks ` G ) P -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
54	8, 9, 53	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
55		fzosplitsn 12576	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( N + 1 ) ) = ( ( 0..^ N ) u. { N } ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0..^ ( N + 1 ) ) = ( ( 0..^ N ) u. { N } ) )
57	48, 56	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` H ) ) = ( ( 0..^ N ) u. { N } ) )
58		dmun 5331	. . . . 5 |- dom ( I u. { <. B , E >. } ) = ( dom I u. dom { <. B , E >. } )
59	58	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> dom ( I u. { <. B , E >. } ) = ( dom I u. dom { <. B , E >. } ) )
60	46, 57, 59	f1oeq123d 6133	. . 3 |- ( ph -> ( H : ( 0..^ ( # ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I u. { <. B , E >. } ) <-> ( F u. { <. N , B >. } ) : ( ( 0..^ N ) u. { N } ) -1-1-onto-> ( dom I u. dom { <. B , E >. } ) ) )
61	45, 60	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> H : ( 0..^ ( # ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I u. { <. B , E >. } ) )
62	14	eqcomi 2631	. . 3 |- ( I u. { <. B , E >. } ) = (iEdg ` S )
63	62	iseupthf1o 27062	. 2 |- ( H (EulerPaths ` S ) Q <-> ( H (Walks ` S ) Q /\ H : ( 0..^ ( # ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I u. { <. B , E >. } ) ) )
64	21, 61, 63	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939  Walkscwlks 26492  EulerPathsceupth 27057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-eupth 27058

This theorem is referenced by:  eupth2eucrct  27077