Theorem evlslem4 19508

Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlslem4.b	|- B = ( Base ` R )
evlslem4.z	|- .0. = ( 0g ` R )
evlslem4.t	|- .x. = ( .r ` R )
evlslem4.r	|- ( ph -> R e. Ring )
evlslem4.x	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> X e. B )
evlslem4.y	|- ( ( ph /\ y e. J ) -> Y e. B )
evlslem4.i	|- ( ph -> I e. V )
evlslem4.j	|- ( ph -> J e. W )

Assertion

Ref	Expression
evlslem4	|- ( ph -> ( ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) supp .0. ) C_ ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, I   x, J, y   ph, x, y   y, X   x, B, y   x, .x. , y   x, Y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   V( x, y)   W( x, y)   X( x)   Y( y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem evlslem4

Dummy variables i j z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ i ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) )
2		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) )
3		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( x e. I |-> X ) ` i )
4		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x .x.
5		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( y e. J |-> Y ) ` j )
6	3, 4, 5	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) )
7		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y ( ( x e. I |-> X ) ` i )
8		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y .x.
9		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 |- F/_ y ( ( y e. J |-> Y ) ` j )
10	7, 8, 9	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ y ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( x e. I |-> X ) ` x ) = ( ( x e. I |-> X ) ` i ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = j -> ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) = ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) )
13	11, 12	oveqan12d 6669	. . . . . 6 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) = ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) )
14	1, 2, 6, 10, 13	cbvmpt2 6734	. . . . 5 |- ( x e. I , y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) = ( i e. I , j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) )
15		vex 3203	. . . . . . . 8 |- i e. _V
16		vex 3203	. . . . . . . 8 |- j e. _V
17	15, 16	eqop2 7209	. . . . . . 7 |- ( z = <. i , j >. <-> ( z e. ( _V X. _V ) /\ ( ( 1st ` z ) = i /\ ( 2nd ` z ) = j ) ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` z ) = i -> ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) = ( ( x e. I |-> X ) ` i ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd ` z ) = j -> ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) = ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) )
20	18, 19	oveqan12d 6669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1st ` z ) = i /\ ( 2nd ` z ) = j ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( _V X. _V ) /\ ( ( 1st ` z ) = i /\ ( 2nd ` z ) = j ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) )
22	17, 21	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( z = <. i , j >. -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) )
23	22	mpt2mpt 6752	. . . . 5 |- ( z e. ( I X. J ) |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ) = ( i e. I , j e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` i ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` j ) ) )
24	14, 23	eqtr4i 2647	. . . 4 |- ( x e. I , y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) = ( z e. ( I X. J ) |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) )
25		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> x e. I )
26		evlslem4.x	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> X e. B )
27	26	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> X e. B )
28		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> X ) = ( x e. I |-> X )
29	28	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( x e. I /\ X e. B ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` x ) = X )
30	25, 27, 29	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` x ) = X )
31		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> y e. J )
32		evlslem4.y	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. J ) -> Y e. B )
33	32	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> Y e. B )
34		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. J |-> Y ) = ( y e. J |-> Y )
35	34	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( y e. J /\ Y e. B ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) = Y )
36	31, 33, 35	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) = Y )
37	30, 36	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I /\ y e. J ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) = ( X .x. Y ) )
38	37	mpt2eq3dva 6719	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I , y e. J |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` x ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` y ) ) ) = ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) )
39	24, 38	syl5reqr 2671	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) = ( z e. ( I X. J ) |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ) )
40	39	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) supp .0. ) = ( ( z e. ( I X. J ) |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ) supp .0. ) )
41		difxp 5558	. . . . . 6 |- ( ( I X. J ) \ ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) = ( ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) u. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) )
42	41	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( z e. ( ( I X. J ) \ ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) <-> z e. ( ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) u. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) )
43		elun 3753	. . . . 5 |- ( z e. ( ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) u. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) <-> ( z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) \/ z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) )
44	42, 43	bitri 264	. . . 4 |- ( z e. ( ( I X. J ) \ ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) <-> ( z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) \/ z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) )
45		xp1st 7198	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) -> ( 1st ` z ) e. ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) )
46	26, 28	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. I |-> X ) : I --> B )
47		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) C_ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) C_ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) )
49		evlslem4.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. V )
50		evlslem4.z	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` R )
51		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) e. _V
52	50, 51	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- .0. e. _V
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> .0. e. _V )
54	46, 48, 49, 53	suppssr 7326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 1st ` z ) e. ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) = .0. )
55	45, 54	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) = .0. )
56	55	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( .0. .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) )
57		evlslem4.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Ring )
58	57	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) ) -> R e. Ring )
59	32, 34	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. J |-> Y ) : J --> B )
60		xp2nd 7199	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) -> ( 2nd ` z ) e. J )
61		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. J |-> Y ) : J --> B /\ ( 2nd ` z ) e. J ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) e. B )
62	59, 60, 61	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) e. B )
63		evlslem4.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
64		evlslem4.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
65	63, 64, 50	ringlz 18587	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) e. B ) -> ( .0. .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = .0. )
66	58, 62, 65	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) ) -> ( .0. .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = .0. )
67	56, 66	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = .0. )
68		xp2nd 7199	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) -> ( 2nd ` z ) e. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) )
69		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) C_ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) C_ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) )
71		evlslem4.j	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. W )
72	59, 70, 71, 53	suppssr 7326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 2nd ` z ) e. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) = .0. )
73	68, 72	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) -> ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) = .0. )
74	73	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. .0. ) )
75	57	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) -> R e. Ring )
76		xp1st 7198	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) -> ( 1st ` z ) e. I )
77		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. I |-> X ) : I --> B /\ ( 1st ` z ) e. I ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) e. B )
78	46, 76, 77	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) -> ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) e. B )
79	63, 64, 50	ringrz 18588	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) e. B ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. .0. ) = .0. )
80	75, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. .0. ) = .0. )
81	74, 80	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = .0. )
82	67, 81	jaodan 826	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( I \ ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) ) X. J ) \/ z e. ( I X. ( J \ ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = .0. )
83	44, 82	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ( I X. J ) \ ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) ) ) -> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = .0. )
84		xpexg 6960	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I X. J ) e. _V )
85	49, 71, 84	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( I X. J ) e. _V )
86	83, 85	suppss2 7329	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. ( I X. J ) |-> ( ( ( x e. I |-> X ) ` ( 1st ` z ) ) .x. ( ( y e. J |-> Y ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ) supp .0. ) C_ ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) )
87	40, 86	eqsstrd 3639	1 |- ( ph -> ( ( x e. I , y e. J |-> ( X .x. Y ) ) supp .0. ) C_ ( ( ( x e. I |-> X ) supp .0. ) X. ( ( y e. J |-> Y ) supp .0. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   supp csupp 7295   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ring 18549

This theorem is referenced by:  evlslem2  19512