Theorem faclbnd4lem3 13082

Description: Lemma for faclbnd4 13084. The N = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem3	|- ( ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) /\ N = 0 ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem faclbnd4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11294	. . . . 5 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. NN \/ K = 0 ) )
2		0exp 12895	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( 0 ^ K ) = 0 )
3	2	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( 0 ^ K ) = 0 )
4		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
5		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
6		nn0sqcl 12887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN0 -> ( K ^ 2 ) e. NN0 )
7		nn0expcl 12874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ ( K ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) e. NN0 )
8	5, 6, 7	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) e. NN0 )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) e. NN0 )
10		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( M + K ) e. NN0 )
11		nn0expcl 12874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ ( M + K ) e. NN0 ) -> ( M ^ ( M + K ) ) e. NN0 )
12	10, 11	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( M ^ ( M + K ) ) e. NN0 )
13	9, 12	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. NN0 )
14	4, 13	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. NN0 )
15	14	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN ) -> 0 <_ ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) )
16	3, 15	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( 0 ^ K ) <_ ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) )
17		1nn 11031	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
18		elnn0 11294	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
19		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
20		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
21		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( M + 0 ) e. NN0 )
22	19, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( M + 0 ) e. NN0 )
23		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ ( M + 0 ) e. NN0 ) -> ( M ^ ( M + 0 ) ) e. NN )
24	22, 23	mpdan 702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( M ^ ( M + 0 ) ) e. NN )
25		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M = 0 -> M = 0 )
26		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M = 0 -> ( M + 0 ) = ( 0 + 0 ) )
27		00id 10211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 + 0 ) = 0
28	26, 27	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M = 0 -> ( M + 0 ) = 0 )
29	25, 28	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M = 0 -> ( M ^ ( M + 0 ) ) = ( 0 ^ 0 ) )
30		0exp0e1 12865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
31	29, 30	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M = 0 -> ( M ^ ( M + 0 ) ) = 1 )
32	31, 17	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( M ^ ( M + 0 ) ) e. NN )
33	24, 32	jaoi 394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN \/ M = 0 ) -> ( M ^ ( M + 0 ) ) e. NN )
34	18, 33	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN0 -> ( M ^ ( M + 0 ) ) e. NN )
35		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. NN /\ ( M ^ ( M + 0 ) ) e. NN ) -> ( 1 x. ( M ^ ( M + 0 ) ) ) e. NN )
36	17, 34, 35	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( 1 x. ( M ^ ( M + 0 ) ) ) e. NN )
37	36	nnge1d 11063	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> 1 <_ ( 1 x. ( M ^ ( M + 0 ) ) ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ K = 0 ) -> 1 <_ ( 1 x. ( M ^ ( M + 0 ) ) ) )
39		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( K = 0 -> ( 0 ^ K ) = ( 0 ^ 0 ) )
40	39, 30	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( 0 ^ K ) = 1 )
41		sq0i 12956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K = 0 -> ( K ^ 2 ) = 0 )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( K = 0 -> ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) = ( 2 ^ 0 ) )
43		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
44		exp0 12864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 0 ) = 1 )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ^ 0 ) = 1
46	42, 45	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( K = 0 -> ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) = 1 )
47		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( K = 0 -> ( M + K ) = ( M + 0 ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( K = 0 -> ( M ^ ( M + K ) ) = ( M ^ ( M + 0 ) ) )
49	46, 48	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) = ( 1 x. ( M ^ ( M + 0 ) ) ) )
50	40, 49	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( 0 ^ K ) <_ ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) <-> 1 <_ ( 1 x. ( M ^ ( M + 0 ) ) ) ) )
51	50	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ K = 0 ) -> ( ( 0 ^ K ) <_ ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) <-> 1 <_ ( 1 x. ( M ^ ( M + 0 ) ) ) ) )
52	38, 51	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ K = 0 ) -> ( 0 ^ K ) <_ ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) )
53	16, 52	jaodan 826	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ ( K e. NN \/ K = 0 ) ) -> ( 0 ^ K ) <_ ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) )
54	1, 53	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( 0 ^ K ) <_ ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) )
55		nn0cn 11302	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
56	55	exp0d 13002	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M ^ 0 ) = 1 )
57	56	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( M e. NN0 -> ( ( 0 ^ K ) x. ( M ^ 0 ) ) = ( ( 0 ^ K ) x. 1 ) )
58		nn0expcl 12874	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( 0 ^ K ) e. NN0 )
59	20, 58	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( K e. NN0 -> ( 0 ^ K ) e. NN0 )
60	59	nn0cnd 11353	. . . . . 6 |- ( K e. NN0 -> ( 0 ^ K ) e. CC )
61	60	mulid1d 10057	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( ( 0 ^ K ) x. 1 ) = ( 0 ^ K ) )
62	57, 61	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( ( 0 ^ K ) x. ( M ^ 0 ) ) = ( 0 ^ K ) )
63	13	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) e. CC )
64	63	mulid1d 10057	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. 1 ) = ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) )
65	54, 62, 64	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( ( 0 ^ K ) x. ( M ^ 0 ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. 1 ) )
66	65	adantr 481	. 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) /\ N = 0 ) -> ( ( 0 ^ K ) x. ( M ^ 0 ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. 1 ) )
67		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N ^ K ) = ( 0 ^ K ) )
68		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( M ^ N ) = ( M ^ 0 ) )
69	67, 68	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) = ( ( 0 ^ K ) x. ( M ^ 0 ) ) )
70		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( ! ` N ) = ( ! ` 0 ) )
71		fac0 13063	. . . . . 6 |- ( ! ` 0 ) = 1
72	70, 71	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ! ` N ) = 1 )
73	72	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) = ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. 1 ) )
74	69, 73	breq12d 4666	. . 3 |- ( N = 0 -> ( ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( ( 0 ^ K ) x. ( M ^ 0 ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. 1 ) ) )
75	74	adantl 482	. 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) /\ N = 0 ) -> ( ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( ( 0 ^ K ) x. ( M ^ 0 ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. 1 ) ) )
76	66, 75	mpbird 247	1 |- ( ( ( M e. NN0 /\ K e. NN0 ) /\ N = 0 ) -> ( ( N ^ K ) x. ( M ^ N ) ) <_ ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) x. ( M ^ ( M + K ) ) ) x. ( ! ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   !cfa 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  13083  faclbnd4  13084