Theorem prmgaplem4 15758

Description: Lemma for prmgap 15763. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem4.a	|- A = { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) }

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem4	|- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable groups:   x, A, y   N, p   P, p

Allowed substitution hints:   A( p)   P( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem prmgaplem4

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } C_ Prime
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } C_ Prime )
3		prmssnn 15390	. . . . 5 |- Prime C_ NN
4		nnssre 11024	. . . . 5 |- NN C_ RR
5	3, 4	sstri 3612	. . . 4 |- Prime C_ RR
6	2, 5	syl6ss 3615	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } C_ RR )
7		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> ( N ... P ) e. Fin )
8		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( p = i -> ( N < p <-> N < i ) )
9		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( p = i -> ( p <_ P <-> i <_ P ) )
10	8, 9	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( p = i -> ( ( N < p /\ p <_ P ) <-> ( N < i /\ i <_ P ) ) )
11	10	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( i e. { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } <-> ( i e. Prime /\ ( N < i /\ i <_ P ) ) )
12		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
13		prmz 15389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
14	12, 13	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> ( N e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
15	14	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> ( N e. ZZ /\ P e. ZZ ) )
16		prmz 15389	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. Prime -> i e. ZZ )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. Prime /\ ( N < i /\ i <_ P ) ) -> i e. ZZ )
18	15, 17	anim12i 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) /\ ( i e. Prime /\ ( N < i /\ i <_ P ) ) ) -> ( ( N e. ZZ /\ P e. ZZ ) /\ i e. ZZ ) )
19		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ P e. ZZ /\ i e. ZZ ) <-> ( ( N e. ZZ /\ P e. ZZ ) /\ i e. ZZ ) )
20	18, 19	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) /\ ( i e. Prime /\ ( N < i /\ i <_ P ) ) ) -> ( N e. ZZ /\ P e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
21		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> N e. RR )
23	5	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. Prime -> i e. RR )
24		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ i e. RR ) -> ( N < i -> N <_ i ) )
25	22, 23, 24	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) /\ i e. Prime ) -> ( N < i -> N <_ i ) )
26	25	anim1d 588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) /\ i e. Prime ) -> ( ( N < i /\ i <_ P ) -> ( N <_ i /\ i <_ P ) ) )
27	26	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> ( i e. Prime -> ( ( N < i /\ i <_ P ) -> ( N <_ i /\ i <_ P ) ) ) )
28	27	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> ( i e. Prime -> ( ( N < i /\ i <_ P ) -> ( N <_ i /\ i <_ P ) ) ) )
29	28	imp32 449	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) /\ ( i e. Prime /\ ( N < i /\ i <_ P ) ) ) -> ( N <_ i /\ i <_ P ) )
30		elfz2 12333	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( N ... P ) <-> ( ( N e. ZZ /\ P e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( N <_ i /\ i <_ P ) ) )
31	20, 29, 30	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) /\ ( i e. Prime /\ ( N < i /\ i <_ P ) ) ) -> i e. ( N ... P ) )
32	31	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> ( ( i e. Prime /\ ( N < i /\ i <_ P ) ) -> i e. ( N ... P ) ) )
33	11, 32	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> ( i e. { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } -> i e. ( N ... P ) ) )
34	33	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } C_ ( N ... P ) )
35		ssfi 8180	. . . 4 |- ( ( ( N ... P ) e. Fin /\ { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } C_ ( N ... P ) ) -> { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } e. Fin )
36	7, 34, 35	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } e. Fin )
37		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> P e. Prime )
38		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
39	38	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. RR )
40	39	leidd 10594	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P <_ P )
41	40	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ N < P ) -> ( P <_ P /\ N < P ) )
42	41	ancomd 467	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ N < P ) -> ( N < P /\ P <_ P ) )
43	42	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> ( N < P /\ P <_ P ) )
44		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( N < p <-> N < P ) )
45		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( p <_ P <-> P <_ P ) )
46	44, 45	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( ( N < p /\ p <_ P ) <-> ( N < P /\ P <_ P ) ) )
47	46	elrab 3363	. . . . 5 |- ( P e. { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } <-> ( P e. Prime /\ ( N < P /\ P <_ P ) ) )
48	37, 43, 47	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> P e. { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } )
49		ne0i 3921	. . . 4 |- ( P e. { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } -> { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } =/= (/) )
50	48, 49	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } =/= (/) )
51		prmgaplem4.a	. . . 4 |- A = { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) }
52		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( A = { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } -> ( A C_ RR <-> { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } C_ RR ) )
53		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( A = { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } -> ( A e. Fin <-> { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } e. Fin ) )
54		neeq1 2856	. . . . 5 |- ( A = { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } -> ( A =/= (/) <-> { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } =/= (/) ) )
55	52, 53, 54	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( A = { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } -> ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) <-> ( { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } C_ RR /\ { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } e. Fin /\ { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } =/= (/) ) ) )
56	51, 55	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) <-> ( { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } C_ RR /\ { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } e. Fin /\ { p e. Prime | ( N < p /\ p <_ P ) } =/= (/) ) )
57	6, 36, 50, 56	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) )
58		fiminre 10972	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )
59	57, 58	syl 17	1 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime /\ N < P ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ...cfz 12326   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  prmgaplem6  15760