Theorem fmtnofac2lem 41480

Description: Lemma for fmtnofac2 41481 (Induction step). (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofac2lem	|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( y x. z ) || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )

Distinct variable group:   k, N, y, z

Proof of Theorem fmtnofac2lem

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11697	. . . . . 6 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. ZZ )
3		eluzelz 11697	. . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
4	3	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
5		eluzge2nn0 11727	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
6		fmtnonn 41443	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` N ) e. NN )
7	6	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` N ) e. ZZ )
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` N ) e. ZZ )
9		muldvds2 15007	. . . . 5 |- ( ( y e. ZZ /\ z e. ZZ /\ (FermatNo ` N ) e. ZZ ) -> ( ( y x. z ) || (FermatNo ` N ) -> z || (FermatNo ` N ) ) )
10	2, 4, 8, 9	syl2an3an 1386	. . . 4 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y x. z ) || (FermatNo ` N ) -> z || (FermatNo ` N ) ) )
11		muldvds1 15006	. . . . . 6 |- ( ( y e. ZZ /\ z e. ZZ /\ (FermatNo ` N ) e. ZZ ) -> ( ( y x. z ) || (FermatNo ` N ) -> y || (FermatNo ` N ) ) )
12	2, 4, 8, 11	syl2an3an 1386	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y x. z ) || (FermatNo ` N ) -> y || (FermatNo ` N ) ) )
13		pm2.27 42	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
14	13	ad2ant2lr 784	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y || (FermatNo ` N ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) ) -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
15		pm2.27 42	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
16	15	ad2ant2l 782	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y || (FermatNo ` N ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) ) -> ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
17		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
18	17	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
19	18	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
20	19	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> E. m e. NN0 y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
24	23	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> E. n e. NN0 z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
25		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> m e. NN0 )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> m e. NN0 )
27		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. NN0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. NN0 )
29	5, 28	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N + 2 ) e. NN0 )
30	28, 29	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. NN0 )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. NN0 )
32	26, 31	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. NN0 )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> n e. NN0 )
35	32, 34	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) e. NN0 )
36		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( m + n ) e. NN0 )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m + n ) e. NN0 )
38	35, 37	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) e. NN0 )
39		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) -> ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) -> ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
41	40	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) -> ( ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
43		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
44	38, 42, 43	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> E. k e. NN0 ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
45		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. NN0 -> m e. CC )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> m e. CC )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> m e. CC )
48	30	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC )
50	47, 49	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC )
51	33	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> n e. CC )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> n e. CC )
53	52, 49	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC )
54	50, 53	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC /\ ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC /\ ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC ) )
56		muladd11r 10249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC /\ ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) + 1 ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) + 1 ) )
58	25	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> m e. CC )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> m e. CC )
60	59, 52, 49	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m e. CC /\ n e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( m e. CC /\ n e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) )
62		adddir 10031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) -> ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
64	63	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) = ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
66	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) e. CC )
67	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> n e. CC )
68	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC )
69	66, 67, 68	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
70	69	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) )
72	50, 52	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) e. CC )
73	36	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( m + n ) e. CC )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m + n ) e. CC )
75	72, 74, 49	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) e. CC /\ ( m + n ) e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) e. CC /\ ( m + n ) e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) )
77		adddir 10031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) e. CC /\ ( m + n ) e. CC /\ ( 2 ^ ( N + 2 ) ) e. CC ) -> ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( ( m + n ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) )
79	65, 71, 78	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) )
80	79	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) + ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
81	57, 80	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
82	81	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
83	82	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( E. k e. NN0 ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> E. k e. NN0 ( ( ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) x. n ) + ( m + n ) ) x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
84	44, 83	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> E. k e. NN0 ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
85	84	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> E. k e. NN0 ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) )
86		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> ( y x. z ) = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
87	86	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> ( y x. z ) = ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
88	87	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> ( ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
89	88	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> ( E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) <-> E. k e. NN0 ( ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) x. ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
90	85, 89	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
91	90	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
92	91	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
93	92	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( E. n e. NN0 z = ( ( n x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
94	24, 93	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
95	94	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
96	95	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. m e. NN0 y = ( ( m x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
97	20, 96	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> ( E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
98	97	impd 447	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y || (FermatNo ` N ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) ) -> ( ( E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) /\ E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
100	14, 16, 99	syl2and 500	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y || (FermatNo ` N ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) )
101	100	exp32 631	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y || (FermatNo ` N ) -> ( z || (FermatNo ` N ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
102	12, 101	syld 47	. . . 4 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y x. z ) || (FermatNo ` N ) -> ( z || (FermatNo ` N ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
103	10, 102	mpdd 43	. . 3 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( y x. z ) || (FermatNo ` N ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
104	103	expimpd 629	. 2 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( y x. z ) || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
105	104	com23 86	1 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 y = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) /\ ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 z = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( y x. z ) || (FermatNo ` N ) ) -> E. k e. NN0 ( y x. z ) = ( ( k x. ( 2 ^ ( N + 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   || cdvds 14983  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-dvds 14984  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  fmtnofac2  41481