Theorem fmul01lt1lem2 39817

Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value E larger than any multiplicand, is larger than the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1lem2.1	|- F/_ i B
fmul01lt1lem2.2	|- F/ i ph
fmul01lt1lem2.3	|- A = seq L ( x. , B )
fmul01lt1lem2.4	|- ( ph -> L e. ZZ )
fmul01lt1lem2.5	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
fmul01lt1lem2.6	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
fmul01lt1lem2.7	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
fmul01lt1lem2.8	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
fmul01lt1lem2.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
fmul01lt1lem2.10	|- ( ph -> J e. ( L ... M ) )
fmul01lt1lem2.11	|- ( ph -> ( B ` J ) < E )

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1lem2	|- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Distinct variable groups:   i, J   i, L   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   A( i)   B( i)   E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem2

Dummy variables a b c j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmul01lt1lem2.1	. . 3 |- F/_ i B
2		fmul01lt1lem2.2	. . . 4 |- F/ i ph
3		nfv 1843	. . . 4 |- F/ i J = L
4	2, 3	nfan 1828	. . 3 |- F/ i ( ph /\ J = L )
5		fmul01lt1lem2.3	. . 3 |- A = seq L ( x. , B )
6		fmul01lt1lem2.4	. . . 4 |- ( ph -> L e. ZZ )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ J = L ) -> L e. ZZ )
8		fmul01lt1lem2.5	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
9	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ J = L ) -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
10		fmul01lt1lem2.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
11	10	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J = L ) /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
12		fmul01lt1lem2.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
13	12	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J = L ) /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
14		fmul01lt1lem2.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
15	14	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ J = L ) /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
16		fmul01lt1lem2.9	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR+ )
17	16	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ J = L ) -> E e. RR+ )
18		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J = L ) -> J = L )
19	18	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ J = L ) -> ( B ` J ) = ( B ` L ) )
20		fmul01lt1lem2.11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B ` J ) < E )
21	20	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ J = L ) -> ( B ` J ) < E )
22	19, 21	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ( ph /\ J = L ) -> ( B ` L ) < E )
23	1, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 22	fmul01lt1lem1 39816	. 2 |- ( ( ph /\ J = L ) -> ( A ` M ) < E )
24	5	fveq1i 6192	. . 3 |- ( A ` M ) = ( seq L ( x. , B ) ` M )
25		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ i a e. ( L ... M )
26	2, 25	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ a e. ( L ... M ) )
27		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i a
28	1, 27	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( B ` a )
29	28	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ i ( B ` a ) e. RR
30	26, 29	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ph /\ a e. ( L ... M ) ) -> ( B ` a ) e. RR )
31		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( i = a -> ( i e. ( L ... M ) <-> a e. ( L ... M ) ) )
32	31	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( i = a -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ a e. ( L ... M ) ) ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( i = a -> ( B ` i ) = ( B ` a ) )
34	33	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( i = a -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` a ) e. RR ) )
35	32, 34	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( i = a -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ a e. ( L ... M ) ) -> ( B ` a ) e. RR ) ) )
36	30, 35, 10	chvar 2262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( L ... M ) ) -> ( B ` a ) e. RR )
37		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ j e. RR ) -> ( a x. j ) e. RR )
38	37	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. RR /\ j e. RR ) ) -> ( a x. j ) e. RR )
39	8, 36, 38	seqcl 12821	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) e. RR )
40	39	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) e. RR )
41		fmul01lt1lem2.10	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ( L ... M ) )
42		elfzuz3 12339	. . . . . . 7 |- ( J e. ( L ... M ) -> M e. ( ZZ>= ` J ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` J ) )
44		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ i a e. ( J ... M )
45	2, 44	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ a e. ( J ... M ) )
46	45, 29	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ph /\ a e. ( J ... M ) ) -> ( B ` a ) e. RR )
47		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( i = a -> ( i e. ( J ... M ) <-> a e. ( J ... M ) ) )
48	47	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( i = a -> ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) <-> ( ph /\ a e. ( J ... M ) ) ) )
49	48, 34	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( i = a -> ( ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ a e. ( J ... M ) ) -> ( B ` a ) e. RR ) ) )
50	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> L e. ZZ )
51		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> M e. ZZ )
52	8, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> M e. ZZ )
54		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( J ... M ) -> i e. ZZ )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> i e. ZZ )
56	50, 53, 55	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
57	6	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> L e. RR )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> L e. RR )
59		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( L ... M ) -> J e. ZZ )
60	41, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. ZZ )
61	60	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. RR )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> J e. RR )
63	54	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( J ... M ) -> i e. RR )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> i e. RR )
65		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( L ... M ) -> L <_ J )
66	41, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> L <_ J )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> L <_ J )
68		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( J ... M ) -> J <_ i )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> J <_ i )
70	58, 62, 64, 67, 69	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> L <_ i )
71		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( J ... M ) -> i <_ M )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> i <_ M )
73	70, 72	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
74		elfz2 12333	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( L <_ i /\ i <_ M ) ) )
75	56, 73, 74	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
76	75, 10	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
77	46, 49, 76	chvar 2262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( J ... M ) ) -> ( B ` a ) e. RR )
78	43, 77, 38	seqcl 12821	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq J ( x. , B ) ` M ) e. RR )
79	78	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq J ( x. , B ) ` M ) e. RR )
80	16	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
81	80	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> E e. RR )
82		remulcl 10021	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( a x. b ) e. RR )
83	82	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( a x. b ) e. RR )
84		simp1 1061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ c e. RR ) -> a e. RR )
85	84	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ c e. RR ) -> a e. CC )
86		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ c e. RR ) -> b e. RR )
87	86	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ c e. RR ) -> b e. CC )
88		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ c e. RR ) -> c e. RR )
89	88	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ c e. RR ) -> c e. CC )
90	85, 87, 89	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ c e. RR ) -> ( ( a x. b ) x. c ) = ( a x. ( b x. c ) ) )
91	90	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ c e. RR ) ) -> ( ( a x. b ) x. c ) = ( a x. ( b x. c ) ) )
92	60	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. CC )
93		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
94	92, 93	npcand 10396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) + 1 ) = J )
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( J - 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` J ) )
96	43, 95	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` ( ( J - 1 ) + 1 ) ) )
97	96	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> M e. ( ZZ>= ` ( ( J - 1 ) + 1 ) ) )
98	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> L e. ZZ )
99	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> J e. ZZ )
100		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> 1 e. ZZ )
101	99, 100	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( J - 1 ) e. ZZ )
102		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> -. J = L )
103		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J = L <-> L = J )
104	102, 103	sylnib 318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> -. L = J )
105	57, 61	leloed 10180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( L <_ J <-> ( L < J \/ L = J ) ) )
106	66, 105	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L < J \/ L = J ) )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( L < J \/ L = J ) )
108		orel2 398	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. L = J -> ( ( L < J \/ L = J ) -> L < J ) )
109	104, 107, 108	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> L < J )
110		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( L < J <-> L <_ ( J - 1 ) ) )
111	6, 60, 110	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L < J <-> L <_ ( J - 1 ) ) )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( L < J <-> L <_ ( J - 1 ) ) )
113	109, 112	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> L <_ ( J - 1 ) )
114		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` L ) <-> ( L e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ /\ L <_ ( J - 1 ) ) )
115	98, 101, 113, 114	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` L ) )
116		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i -. J = L
117	2, 116	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ph /\ -. J = L )
118	117, 25	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ph /\ -. J = L ) /\ a e. ( L ... M ) )
119	118, 29	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ a e. ( L ... M ) ) -> ( B ` a ) e. RR )
120	31	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( i = a -> ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ( ph /\ -. J = L ) /\ a e. ( L ... M ) ) ) )
121	120, 34	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( i = a -> ( ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ a e. ( L ... M ) ) -> ( B ` a ) e. RR ) ) )
122	10	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
123	119, 121, 122	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ a e. ( L ... M ) ) -> ( B ` a ) e. RR )
124	83, 91, 97, 115, 123	seqsplit 12834	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` ( J - 1 ) ) x. ( seq ( ( J - 1 ) + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) )
125	94	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( ( J - 1 ) + 1 ) = J )
126	125	seqeq1d 12807	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> seq ( ( J - 1 ) + 1 ) ( x. , B ) = seq J ( x. , B ) )
127	126	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq ( ( J - 1 ) + 1 ) ( x. , B ) ` M ) = ( seq J ( x. , B ) ` M ) )
128	127	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` ( J - 1 ) ) x. ( seq ( ( J - 1 ) + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` ( J - 1 ) ) x. ( seq J ( x. , B ) ` M ) ) )
129	124, 128	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` ( J - 1 ) ) x. ( seq J ( x. , B ) ` M ) ) )
130		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i a e. ( L ... ( J - 1 ) )
131	117, 130	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ph /\ -. J = L ) /\ a e. ( L ... ( J - 1 ) ) )
132	131, 29	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ a e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> ( B ` a ) e. RR )
133		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = a -> ( i e. ( L ... ( J - 1 ) ) <-> a e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) )
134	133	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( i = a -> ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ -. J = L ) /\ a e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) ) )
135	134, 34	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( i = a -> ( ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ a e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> ( B ` a ) e. RR ) ) )
136	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> L e. ZZ )
137	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
138		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( L ... ( J - 1 ) ) -> i e. ZZ )
139	138	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
140	136, 137, 139	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
141		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( L ... ( J - 1 ) ) -> L <_ i )
142	141	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> L <_ i )
143	138	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( L ... ( J - 1 ) ) -> i e. RR )
144	143	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> i e. RR )
145	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> J e. RR )
146	52	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. RR )
147	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> M e. RR )
148		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. RR )
149	61, 148	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. RR )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> ( J - 1 ) e. RR )
151		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( L ... ( J - 1 ) ) -> i <_ ( J - 1 ) )
152	151	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> i <_ ( J - 1 ) )
153	61	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( J - 1 ) <_ J )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> ( J - 1 ) <_ J )
155	144, 150, 145, 152, 154	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> i <_ J )
156		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. ( L ... M ) -> J <_ M )
157	41, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J <_ M )
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> J <_ M )
159	144, 145, 147, 155, 158	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> i <_ M )
160	142, 159	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
161	140, 160, 74	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> i e. ( L ... M ) )
162	161, 10	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
163	162	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
164	132, 135, 163	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ a e. ( L ... ( J - 1 ) ) ) -> ( B ` a ) e. RR )
165	37	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ ( a e. RR /\ j e. RR ) ) -> ( a x. j ) e. RR )
166	115, 164, 165	seqcl 12821	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( J - 1 ) ) e. RR )
167		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> 1 e. RR )
168		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- seq J ( x. , B ) = seq J ( x. , B )
169	43	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> M e. ( ZZ>= ` J ) )
170		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` J ) -> M e. ( J ... M ) )
171	43, 170	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( J ... M ) )
172	171	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> M e. ( J ... M ) )
173	76	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( J ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
174	75, 12	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
175	174	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( J ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
176	75, 14	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( J ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
177	176	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( J ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
178	1, 117, 168, 99, 169, 172, 173, 175, 177	fmul01 39812	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( 0 <_ ( seq J ( x. , B ) ` M ) /\ ( seq J ( x. , B ) ` M ) <_ 1 ) )
179	178	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> 0 <_ ( seq J ( x. , B ) ` M ) )
180		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- seq L ( x. , B ) = seq L ( x. , B )
181	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
182		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
183	60, 182	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ZZ )
184	6, 52, 183	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) )
185	184	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) )
186	149, 61, 146	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) e. RR /\ J e. RR /\ M e. RR ) )
187	186	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( ( J - 1 ) e. RR /\ J e. RR /\ M e. RR ) )
188	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> J e. RR )
189	188	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( J - 1 ) <_ J )
190	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> J <_ M )
191	189, 190	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( ( J - 1 ) <_ J /\ J <_ M ) )
192		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J - 1 ) e. RR /\ J e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( ( J - 1 ) <_ J /\ J <_ M ) -> ( J - 1 ) <_ M ) )
193	187, 191, 192	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( J - 1 ) <_ M )
194	113, 193	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( L <_ ( J - 1 ) /\ ( J - 1 ) <_ M ) )
195		elfz2 12333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J - 1 ) e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) /\ ( L <_ ( J - 1 ) /\ ( J - 1 ) <_ M ) ) )
196	185, 194, 195	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( J - 1 ) e. ( L ... M ) )
197	12	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
198	14	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. J = L ) /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
199	1, 117, 180, 98, 181, 196, 122, 197, 198	fmul01 39812	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` ( J - 1 ) ) /\ ( seq L ( x. , B ) ` ( J - 1 ) ) <_ 1 ) )
200	199	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( J - 1 ) ) <_ 1 )
201	166, 167, 79, 179, 200	lemul1ad 10963	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` ( J - 1 ) ) x. ( seq J ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( 1 x. ( seq J ( x. , B ) ` M ) ) )
202	129, 201	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) <_ ( 1 x. ( seq J ( x. , B ) ` M ) ) )
203	79	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq J ( x. , B ) ` M ) e. CC )
204	203	mulid2d 10058	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( 1 x. ( seq J ( x. , B ) ` M ) ) = ( seq J ( x. , B ) ` M ) )
205	202, 204	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) <_ ( seq J ( x. , B ) ` M ) )
206	1, 2, 168, 60, 43, 76, 174, 176, 16, 20	fmul01lt1lem1 39816	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq J ( x. , B ) ` M ) < E )
207	206	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq J ( x. , B ) ` M ) < E )
208	40, 79, 81, 205, 207	lelttrd 10195	. . 3 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) < E )
209	24, 208	syl5eqbr 4688	. 2 |- ( ( ph /\ -. J = L ) -> ( A ` M ) < E )
210	23, 209	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  fmul01lt1  39818