Theorem fnlimcnv 39899

Description: The sequence of function values converges to the value of the limit function G at any point of its domain D. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimcnv.1	|- F/_ x F
fnlimcnv.2	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
fnlimcnv.3	|- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
fnlimcnv.4	|- ( ph -> X e. D )

Assertion

Ref	Expression
fnlimcnv	|- ( ph -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ~~> ( G ` X ) )

Distinct variable groups:   m, X   x, Z   x, m   x, n

Allowed substitution hints:   ph( x, m, n)   D( x, m, n)   F( x, m, n)   G( x, m, n)   X( x, n)   Z( m, n)

Proof of Theorem fnlimcnv

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimcnv.4	. . . . 5 |- ( ph -> X e. D )
2		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( ( F ` m ) ` y ) = ( ( F ` m ) ` X ) )
3	2	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) )
4	3	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = X -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> ) )
5		fnlimcnv.2	. . . . . . 7 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
6		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x Z
7		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ZZ>= ` n )
8		fnlimcnv.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x F
9		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x m
10	8, 9	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( F ` m )
11	10	nfdm 5367	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x dom ( F ` m )
12	7, 11	nfiin 4549	. . . . . . . . 9 |- F/_ x |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
13	6, 12	nfiun 4548	. . . . . . . 8 |- F/_ x U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
14		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
15		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~>
16		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x y
17	10, 16	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( F ` m ) ` y )
18	6, 17	nfmpt 4746	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) )
19		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x dom ~~>
20	18, 19	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ x ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~>
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` y ) )
22	21	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) )
23	22	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> ) )
24	13, 14, 15, 20, 23	cbvrab 3198	. . . . . . 7 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } = { y e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> }
25	5, 24	eqtri 2644	. . . . . 6 |- D = { y e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> }
26	4, 25	elrab2 3366	. . . . 5 |- ( X e. D <-> ( X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> ) )
27	1, 26	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> ) )
28	27	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> )
29		climdm 14285	. . 3 |- ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ~~> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
30	28, 29	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ~~> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
31		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ x { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
32	5, 31	nfcxfr 2762	. . . 4 |- F/_ x D
33		fnlimcnv.3	. . . 4 |- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
34	32, 8, 33, 1	fnlimfv 39895	. . 3 |- ( ph -> ( G ` X ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
35	34	eqcomd 2628	. 2 |- ( ph -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) = ( G ` X ) )
36	30, 35	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ~~> ( G ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   {crab 2916   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  fnlimabslt  39911