Theorem fnlimabslt 39911

Description: A sequence of function values, approximates the corresponding limit function value, all but finitely many times. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimabslt.p	|- F/ m ph
fnlimabslt.f	|- F/_ m F
fnlimabslt.n	|- F/_ x F
fnlimabslt.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
fnlimabslt.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fnlimabslt.b	|- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
fnlimabslt.d	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
fnlimabslt.g	|- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
fnlimabslt.x	|- ( ph -> X e. D )
fnlimabslt.y	|- ( ph -> Y e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
fnlimabslt	|- ( ph -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` m ) ` X ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )

Distinct variable groups:   n, F   n, G   n, M   m, X, n   m, Y, n   m, Z, n, x   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( x, m)   D( x, m, n)   F( x, m)   G( x, m)   M( x, m)   X( x)   Y( x)

Proof of Theorem fnlimabslt

Dummy variables j l y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimabslt.p	. . . 4 |- F/ m ph
2		fnlimabslt.z	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		fnlimabslt.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
4		eqid 2622	. . . 4 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
5		fnlimabslt.d	. . . . . 6 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
6		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x Z
7		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ZZ>= ` n )
8		fnlimabslt.n	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x F
9		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x m
10	8, 9	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( F ` m )
11	10	nfdm 5367	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x dom ( F ` m )
12	7, 11	nfiin 4549	. . . . . . . . 9 |- F/_ x |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
13	6, 12	nfiun 4548	. . . . . . . 8 |- F/_ x U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
14		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
15		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~>
16		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x y
17	10, 16	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( F ` m ) ` y )
18	6, 17	nfmpt 4746	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) )
19		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x dom ~~>
20	18, 19	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ x ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~>
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` y ) )
22	21	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) )
23	22	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> ) )
24	13, 14, 15, 20, 23	cbvrab 3198	. . . . . . 7 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } = { y e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> }
25		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { y e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) e. dom ~~> } C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
26	24, 25	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
27	5, 26	eqsstri 3635	. . . . 5 |- D C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
28		fnlimabslt.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. D )
29	27, 28	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
30	1, 2, 3, 4, 29	allbutfifvre 39907	. . 3 |- ( ph -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` m ) ` X ) e. RR )
31		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ j ph
32		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) )
33		fnlimabslt.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
34		fnlimabslt.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
35	8, 5, 34, 28	fnlimcnv 39899	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ~~> ( G ` X ) )
36		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ l ( ( F ` m ) ` X )
37		fnlimabslt.f	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m F
38		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m l
39	37, 38	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m ( F ` l )
40		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m X
41	39, 40	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( ( F ` l ) ` X )
42		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = l -> ( F ` m ) = ( F ` l ) )
43	42	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( m = l -> ( ( F ` m ) ` X ) = ( ( F ` l ) ` X ) )
44	36, 41, 43	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 |- ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) = ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` X ) )
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) = ( l e. Z |-> ( ( F ` l ) ` X ) ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( l = j -> ( F ` l ) = ( F ` j ) )
47	46	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( l = j -> ( ( F ` l ) ` X ) = ( ( F ` j ) ` X ) )
48	47	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ l = j ) -> ( ( F ` l ) ` X ) = ( ( F ` j ) ` X ) )
49		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> j e. Z )
50		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F ` j ) ` X ) e. _V )
51	45, 48, 49, 50	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` j ) = ( ( F ` j ) ` X ) )
52		fnlimabslt.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR+ )
53	31, 32, 2, 33, 35, 51, 52	climd 39904	. . . . 5 |- ( ph -> E. n e. Z A. j e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` j ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )
54		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ j ( ( ( F ` m ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y )
55		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m j
56	37, 55	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m ( F ` j )
57	56, 40	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( ( F ` j ) ` X )
58		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m CC
59	57, 58	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ m ( ( F ` j ) ` X ) e. CC
60		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m abs
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m -
62		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ m ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) )
63		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ m dom ~~>
64	62, 63	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~>
65		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ m Z
66		nfii1 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ m |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
67	65, 66	nfiun 4548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
68	64, 67	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ m { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
69	5, 68	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ m D
70		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ m ~~>
71	70, 62	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ m ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
72	69, 71	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ m ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
73	34, 72	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ m G
74	73, 40	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m ( G ` X )
75	57, 61, 74	nfov 6676	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) )
76	60, 75	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) ) )
77		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m <
78		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m Y
79	76, 77, 78	nfbr 4699	. . . . . . . 8 |- F/ m ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y
80	59, 79	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ m ( ( ( F ` j ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y )
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = j -> ( F ` m ) = ( F ` j ) )
82	81	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( m = j -> ( ( F ` m ) ` X ) = ( ( F ` j ) ` X ) )
83	82	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( m = j -> ( ( ( F ` m ) ` X ) e. CC <-> ( ( F ` j ) ` X ) e. CC ) )
84	82	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( m = j -> ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) = ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) ) )
85	84	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( m = j -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) )
86	85	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( m = j -> ( ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y <-> ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )
87	83, 86	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( ( ( ( F ` m ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) <-> ( ( ( F ` j ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) ) )
88	54, 80, 87	cbvral 3167	. . . . . 6 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` m ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) <-> A. j e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` j ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )
89	88	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` m ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) <-> E. n e. Z A. j e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` j ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` j ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )
90	53, 89	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` m ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )
91		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ m n e. Z
92	1, 91	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ m ( ph /\ n e. Z )
93		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` m ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y )
94	93	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( F ` m ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) -> ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )
95	92, 94	ralimdaa 2958	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` m ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )
96	95	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ph -> ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` m ) ` X ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )
97	90, 96	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y )
98	30, 97	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` m ) ` X ) e. RR /\ E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )
99	2	rexanuz2 14089	. 2 |- ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` m ) ` X ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) <-> ( E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` m ) ` X ) e. RR /\ E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )
100	98, 99	sylibr 224	1 |- ( ph -> E. n e. Z A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( ( F ` m ) ` X ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` m ) ` X ) - ( G ` X ) ) ) < Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   < clt 10074   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  smflimlem4  40982