Theorem frlmlss 20095

Description: The base set of the free module is a subspace of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	|- F = ( R freeLMod I )
frlmpws.b	|- B = ( Base ` F )
frlmlss.u	|- U = ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) )

Assertion

Ref	Expression
frlmlss	|- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> B e. U )

Proof of Theorem frlmlss

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmpws.b	. . 3 |- B = ( Base ` F )
2		frlmval.f	. . . . 5 |- F = ( R freeLMod I )
3	2	frlmval 20092	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> F = ( R (+)m ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) )
4	3	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( Base ` F ) = ( Base ` ( R (+)m ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) ) )
5	1, 4	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> B = ( Base ` ( R (+)m ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) ) )
6		simpr 477	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> I e. W )
7		simpl 473	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> R e. Ring )
8		rlmlmod 19205	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
10		fconst6g 6094	. . . . 5 |- ( (ringLMod ` R ) e. LMod -> ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) : I --> LMod )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) : I --> LMod )
12		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (ringLMod ` R ) e. _V
13	12	fvconst2 6469	. . . . . . 7 |- ( i e. I -> ( ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ` i ) = (ringLMod ` R ) )
14	13	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> ( ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ` i ) = (ringLMod ` R ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> (Scalar ` ( ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ` i ) ) = (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) )
16		rlmsca 19200	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R = (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) )
17	16	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> R = (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) )
18	15, 17	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W ) /\ i e. I ) -> (Scalar ` ( ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ` i ) ) = R )
19		eqid 2622	. . . 4 |- ( R X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) = ( R X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) )
20		eqid 2622	. . . 4 |- ( LSubSp ` ( R X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) ) = ( LSubSp ` ( R X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) )
21		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( R (+)m ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) ) = ( Base ` ( R (+)m ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) )
22	6, 7, 11, 18, 19, 20, 21	dsmmlss 20088	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( Base ` ( R (+)m ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) ) e. ( LSubSp ` ( R X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( (ringLMod ` R ) ^s I ) = ( (ringLMod ` R ) ^s I )
24		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) = (Scalar ` (ringLMod ` R ) )
25	23, 24	pwsval 16146	. . . . . . . 8 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. _V /\ I e. W ) -> ( (ringLMod ` R ) ^s I ) = ( (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) )
26	12, 25	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( I e. W -> ( (ringLMod ` R ) ^s I ) = ( (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) )
27	26	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( (ringLMod ` R ) ^s I ) = ( (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) )
28	16	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) = R )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) = R )
30	29	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( (Scalar ` (ringLMod ` R ) ) X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) = ( R X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) )
31	27, 30	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( R X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) = ( (ringLMod ` R ) ^s I ) )
32	31	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( LSubSp ` ( R X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) ) = ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
33		frlmlss.u	. . . 4 |- U = ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) )
34	32, 33	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( LSubSp ` ( R X_s ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) ) = U )
35	22, 34	eleqtrd 2703	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> ( Base ` ( R (+)m ( I X. { (ringLMod ` R ) } ) ) ) e. U )
36	5, 35	eqeltrd 2701	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> B e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   X__scprds 16106   ^_s cpws 16107   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932  ringLModcrglmod 19169   (+)_m cdsmm 20075   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  frlm0  20098  frlmsubgval  20108  frlmgsum  20111  frlmsplit2  20112