Theorem frlmsubgval 20108

Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsubval.y	|- Y = ( R freeLMod I )
frlmsubval.b	|- B = ( Base ` Y )
frlmsubval.r	|- ( ph -> R e. Ring )
frlmsubval.i	|- ( ph -> I e. W )
frlmsubval.f	|- ( ph -> F e. B )
frlmsubval.g	|- ( ph -> G e. B )
frlmsubval.a	|- .- = ( -g ` R )
frlmsubval.p	|- M = ( -g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
frlmsubgval	|- ( ph -> ( F M G ) = ( F oF .- G ) )

Proof of Theorem frlmsubgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsubval.p	. . . 4 |- M = ( -g ` Y )
2		frlmsubval.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Ring )
3		frlmsubval.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. W )
4		frlmsubval.y	. . . . . . 7 |- Y = ( R freeLMod I )
5		frlmsubval.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
6	4, 5	frlmpws 20094	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> Y = ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B ) )
7	2, 3, 6	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> Y = ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B ) )
8	7	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( -g ` Y ) = ( -g ` ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B ) ) )
9	1, 8	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> M = ( -g ` ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B ) ) )
10	9	oveqd 6667	. 2 |- ( ph -> ( F M G ) = ( F ( -g ` ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B ) ) G ) )
11		rlmlmod 19205	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
12	2, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
13		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( (ringLMod ` R ) ^s I ) = ( (ringLMod ` R ) ^s I )
14	13	pwslmod 18970	. . . . 5 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. W ) -> ( (ringLMod ` R ) ^s I ) e. LMod )
15	12, 3, 14	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( (ringLMod ` R ) ^s I ) e. LMod )
16		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) = ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) )
17	4, 5, 16	frlmlss 20095	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> B e. ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
18	2, 3, 17	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> B e. ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
19	16	lsssubg 18957	. . . 4 |- ( ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) e. LMod /\ B e. ( LSubSp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) ) -> B e. (SubGrp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
20	15, 18, 19	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> B e. (SubGrp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
21		frlmsubval.f	. . 3 |- ( ph -> F e. B )
22		frlmsubval.g	. . 3 |- ( ph -> G e. B )
23		eqid 2622	. . . 4 |- ( -g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) = ( -g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) )
24		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B ) = ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B )
25		eqid 2622	. . . 4 |- ( -g ` ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B ) ) = ( -g ` ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B ) )
26	23, 24, 25	subgsub 17606	. . 3 |- ( ( B e. (SubGrp ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F ( -g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) G ) = ( F ( -g ` ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B ) ) G ) )
27	20, 21, 22, 26	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( F ( -g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) G ) = ( F ( -g ` ( ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ↾s B ) ) G ) )
28		lmodgrp 18870	. . . 4 |- ( (ringLMod ` R ) e. LMod -> (ringLMod ` R ) e. Grp )
29	2, 11, 28	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> (ringLMod ` R ) e. Grp )
30		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
31	4, 30, 5	frlmbasmap 20103	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ F e. B ) -> F e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
32	3, 21, 31	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
33		rlmbas 19195	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
34	13, 33	pwsbas 16147	. . . . 5 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. Grp /\ I e. W ) -> ( ( Base ` R ) ^m I ) = ( Base ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
35	29, 3, 34	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Base ` R ) ^m I ) = ( Base ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
36	32, 35	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> F e. ( Base ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
37	4, 30, 5	frlmbasmap 20103	. . . . 5 |- ( ( I e. W /\ G e. B ) -> G e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
38	3, 22, 37	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
39	38, 35	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> G e. ( Base ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) )
40		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) = ( Base ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) )
41		frlmsubval.a	. . . . 5 |- .- = ( -g ` R )
42		rlmsub 19198	. . . . 5 |- ( -g ` R ) = ( -g ` (ringLMod ` R ) )
43	41, 42	eqtri 2644	. . . 4 |- .- = ( -g ` (ringLMod ` R ) )
44	13, 40, 43, 23	pwssub 17529	. . 3 |- ( ( ( (ringLMod ` R ) e. Grp /\ I e. W ) /\ ( F e. ( Base ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) /\ G e. ( Base ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) ) ) -> ( F ( -g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) G ) = ( F oF .- G ) )
45	29, 3, 36, 39, 44	syl22anc 1327	. 2 |- ( ph -> ( F ( -g ` ( (ringLMod ` R ) ^s I ) ) G ) = ( F oF .- G ) )
46	10, 27, 45	3eqtr2d 2662	1 |- ( ph -> ( F M G ) = ( F oF .- G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   ^_s cpws 16107   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932  ringLModcrglmod 19169   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  matsubgcell  20240  rrxds  23181