Theorem fsumdvdsdiaglem 24909

Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 14509. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsumdvdsdiag.1	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdsdiaglem	|- ( ph -> ( ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) -> ( k e. { x e. NN | x || N } /\ j e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, N   ph, j, k

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3359	. . . . 5 |- ( k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } -> k e. NN )
2	1	ad2antll 765	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> k e. NN )
3		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( x || ( N / j ) <-> k || ( N / j ) ) )
4	3	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } <-> ( k e. NN /\ k || ( N / j ) ) )
5	4	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } -> k || ( N / j ) )
6	5	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> k || ( N / j ) )
7		fsumdvdsdiag.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> N e. NN )
9		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> j e. { x e. NN | x || N } )
10		dvdsdivcl 15038	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / j ) e. { x e. NN | x || N } )
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( N / j ) e. { x e. NN | x || N } )
12		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = ( N / j ) -> ( x || N <-> ( N / j ) || N ) )
13	12	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( ( N / j ) e. { x e. NN | x || N } <-> ( ( N / j ) e. NN /\ ( N / j ) || N ) )
14	13	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( ( N / j ) e. { x e. NN | x || N } -> ( N / j ) || N )
15	11, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( N / j ) || N )
16	2	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> k e. ZZ )
17		elrabi 3359	. . . . . . . 8 |- ( ( N / j ) e. { x e. NN | x || N } -> ( N / j ) e. NN )
18	11, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( N / j ) e. NN )
19	18	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( N / j ) e. ZZ )
20	8	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> N e. ZZ )
21		dvdstr 15018	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( N / j ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( k || ( N / j ) /\ ( N / j ) || N ) -> k || N ) )
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( ( k || ( N / j ) /\ ( N / j ) || N ) -> k || N ) )
23	6, 15, 22	mp2and 715	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> k || N )
24		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = k -> ( x || N <-> k || N ) )
25	24	elrab 3363	. . . 4 |- ( k e. { x e. NN | x || N } <-> ( k e. NN /\ k || N ) )
26	2, 23, 25	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> k e. { x e. NN | x || N } )
27		elrabi 3359	. . . . 5 |- ( j e. { x e. NN | x || N } -> j e. NN )
28	27	ad2antrl 764	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> j e. NN )
29	28	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> j e. ZZ )
30	28	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> j =/= 0 )
31		dvdsmulcr 15011	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ ( N / j ) e. ZZ /\ ( j e. ZZ /\ j =/= 0 ) ) -> ( ( k x. j ) || ( ( N / j ) x. j ) <-> k || ( N / j ) ) )
32	16, 19, 29, 30, 31	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( ( k x. j ) || ( ( N / j ) x. j ) <-> k || ( N / j ) ) )
33	6, 32	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( k x. j ) || ( ( N / j ) x. j ) )
34	8	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> N e. CC )
35	28	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> j e. CC )
36	34, 35, 30	divcan1d 10802	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( ( N / j ) x. j ) = N )
37	2	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> k e. CC )
38	2	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> k =/= 0 )
39	34, 37, 38	divcan2d 10803	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( k x. ( N / k ) ) = N )
40	36, 39	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( ( N / j ) x. j ) = ( k x. ( N / k ) ) )
41	33, 40	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( k x. j ) || ( k x. ( N / k ) ) )
42		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
43		dvdsdivcl 15038	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. { x e. NN | x || N } )
44	8, 26, 43	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( N / k ) e. { x e. NN | x || N } )
45	42, 44	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( N / k ) e. NN )
46	45	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( N / k ) e. ZZ )
47		dvdscmulr 15010	. . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ ( N / k ) e. ZZ /\ ( k e. ZZ /\ k =/= 0 ) ) -> ( ( k x. j ) || ( k x. ( N / k ) ) <-> j || ( N / k ) ) )
48	29, 46, 16, 38, 47	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( ( k x. j ) || ( k x. ( N / k ) ) <-> j || ( N / k ) ) )
49	41, 48	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> j || ( N / k ) )
50		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = j -> ( x || ( N / k ) <-> j || ( N / k ) ) )
51	50	elrab 3363	. . . 4 |- ( j e. { x e. NN | x || ( N / k ) } <-> ( j e. NN /\ j || ( N / k ) ) )
52	28, 49, 51	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> j e. { x e. NN | x || ( N / k ) } )
53	26, 52	jca 554	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) ) -> ( k e. { x e. NN | x || N } /\ j e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) )
54	53	ex 450	1 |- ( ph -> ( ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / j ) } ) -> ( k e. { x e. NN | x || N } /\ j e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   0cc0 9936   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  24910  fsumdvdscom  24911