Theorem nnne0d 11065

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnne0d	|- ( ph -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnne0 11053	. 2 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   =/= wne 2794   0cc0 9936   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  eluz2n0  11728  facne0  13073  bcn1  13100  bcm1k  13102  bcp1n  13103  bcp1nk  13104  bcval5  13105  bcpasc  13108  hashf1  13241  trireciplem  14594  trirecip  14595  geo2sum  14604  geo2lim  14606  mertenslem1  14616  fallfacval4  14774  bcfallfac  14775  bpolycl  14783  bpolysum  14784  bpolydiflem  14785  fsumkthpow  14787  efcllem  14808  ege2le3  14820  efcj  14822  efaddlem  14823  eftlub  14839  eirrlem  14932  ruclem7  14965  sqrt2irrlem  14977  sqrt2irrlemOLD  14978  bitsp1  15153  bitscmp  15160  sadcp1  15177  sadaddlem  15188  bitsres  15195  bitsuz  15196  bitsshft  15197  smupp1  15202  gcdnncl  15229  gcdeq0  15238  mulgcd  15265  sqgcd  15278  lcmeq0  15313  lcmgcdlem  15319  lcmfeq0b  15343  lcmfunsnlem2lem1  15351  lcmfunsnlem2lem2  15352  divgcdcoprm0  15379  prmind2  15398  isprm5  15419  divgcdodd  15422  qmuldeneqnum  15455  divnumden  15456  numdensq  15462  hashdvds  15480  phiprmpw  15481  pythagtriplem4  15524  pythagtriplem19  15538  pcprendvds2  15546  pcpremul  15548  pceulem  15550  pcdiv  15557  pcqmul  15558  pc2dvds  15583  dvdsprmpweqle  15590  pcaddlem  15592  pcadd  15593  pcmpt2  15597  pcmptdvds  15598  pcbc  15604  expnprm  15606  prmpwdvds  15608  pockthlem  15609  prmreclem1  15620  prmreclem3  15622  prmreclem4  15623  4sqlem5  15646  4sqlem8  15649  4sqlem9  15650  4sqlem10  15651  mul4sqlem  15657  4sqlem12  15660  4sqlem14  15662  4sqlem15  15663  4sqlem16  15664  4sqlem17  15665  prmone0  15739  oddvds  17966  sylow1lem1  18013  sylow1lem4  18016  sylow1lem5  18017  sylow2blem3  18037  sylow3lem3  18044  sylow3lem4  18045  gexexlem  18255  ablfacrplem  18464  ablfacrp2  18466  ablfac1lem  18467  ablfac1b  18469  ablfac1eu  18472  pgpfac1lem3a  18475  pgpfac1lem3  18476  prmirredlem  19841  znrrg  19914  fvmptnn04ifa  20655  chfacfscmulgsum  20665  chfacfpmmulgsum  20669  lebnumlem3  22762  lebnumii  22765  ovollb2lem  23256  uniioombllem4  23354  dyadovol  23361  dyaddisjlem  23363  opnmbllem  23369  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  mbfi1fseqlem6  23487  tdeglem4  23820  dgrcolem1  24029  dgrcolem2  24030  dvply1  24039  vieta1lem1  24065  vieta1lem2  24066  elqaalem2  24075  elqaalem3  24076  aalioulem1  24087  aalioulem2  24088  aaliou3lem9  24105  taylfvallem1  24111  tayl0  24116  taylply2  24122  taylply  24123  dvtaylp  24124  taylthlem2  24128  pserdvlem2  24182  advlogexp  24401  cxpmul2  24435  cxpeq  24498  atantayl3  24666  leibpi  24669  log2cnv  24671  log2tlbnd  24672  birthdaylem2  24679  birthdaylem3  24680  amgmlem  24716  amgm  24717  emcllem2  24723  emcllem5  24726  fsumharmonic  24738  zetacvg  24741  dmgmdivn0  24754  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem4  24758  lgamgulmlem5  24759  lgamgulmlem6  24760  lgamgulm2  24762  lgamcvg2  24781  gamcvg  24782  gamcvg2lem  24785  ftalem2  24800  ftalem4  24802  ftalem5  24803  basellem1  24807  basellem2  24808  basellem4  24810  basellem5  24811  basellem8  24814  sgmval2  24869  efchtdvds  24885  ppieq0  24902  fsumdvdsdiaglem  24909  dvdsflf1o  24913  muinv  24919  dvdsmulf1o  24920  chpchtsum  24944  logfaclbnd  24947  logexprlim  24950  mersenne  24952  perfectlem2  24955  perfect  24956  dchrabs  24985  bcmono  25002  bclbnd  25005  bposlem1  25009  bposlem2  25010  bposlem3  25011  bposlem6  25014  lgsval2lem  25032  lgsqr  25076  lgseisenlem4  25103  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  lgsquad2lem1  25109  2sqlem3  25145  2sqlem8  25151  chebbnd1  25161  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisumlem1  25178  dchrmusum2  25183  dchrvmasumlem1  25184  dchrvmasum2lem  25185  dchrvmasum2if  25186  dchrvmasumlem3  25188  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0flblem2  25198  mulogsumlem  25220  mulogsum  25221  mulog2sumlem2  25224  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  logsqvma  25231  selberglem3  25236  selberg  25237  logdivbnd  25245  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  pntrsumo1  25254  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntsval2  25265  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntpbnd1a  25274  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  padicabvf  25320  padicabvcxp  25321  ostth2  25326  ostth3  25327  bcm1n  29554  numdenneg  29563  2sqmod  29648  qqhf  30030  qqhghm  30032  qqhrhm  30033  qqhre  30064  oddpwdc  30416  signshnz  30668  hgt750lemb  30734  subfacval2  31169  subfaclim  31170  cvmliftlem7  31273  cvmliftlem10  31276  cvmliftlem11  31277  cvmliftlem13  31278  bcprod  31624  iprodgam  31628  faclimlem1  31629  faclim2  31634  nn0prpwlem  32317  knoppndvlem16  32518  poimirlem17  33426  poimirlem20  33429  poimirlem23  33432  opnmbllem0  33445  irrapxlem4  37389  irrapxlem5  37390  pellexlem2  37394  pellexlem6  37398  jm2.27c  37574  itgpowd  37800  hashnzfzclim  38521  bcccl  38538  bccp1k  38540  bccm1k  38541  binomcxplemwb  38547  binomcxplemrat  38549  binomcxplemfrat  38550  mccllem  39829  clim1fr1  39833  dvnxpaek  40157  dvnprodlem2  40162  itgsinexp  40170  stoweidlem1  40218  stoweidlem11  40228  stoweidlem25  40242  stoweidlem26  40243  stoweidlem37  40254  stoweidlem38  40255  stoweidlem42  40259  stoweidlem51  40268  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  wallispi2  40290  stirlinglem4  40294  stirlinglem5  40295  stirlinglem12  40302  stirlinglem13  40303  sqwvfourb  40446  etransclem15  40466  etransclem20  40471  etransclem21  40472  etransclem22  40473  etransclem23  40474  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem31  40482  etransclem32  40483  etransclem33  40484  etransclem34  40485  etransclem35  40486  etransclem38  40489  etransclem41  40492  etransclem44  40495  etransclem45  40496  etransclem47  40498  etransclem48  40499  ovolval5lem1  40866  ovolval5lem2  40867  lighneallem4b  41526  divgcdoddALTV  41593  perfectALTVlem2  41631  perfectALTV  41632  expnegico01  42308  fllogbd  42354  digexp  42401  amgmlemALT  42549