Theorem fullestrcsetc 16791

Description: The "natural forgetful functor" from the category of extensible structures into the category of sets which sends each extensible structure to its base set is full. (Contributed by AV, 2-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcestrcsetc.e	|- E = (ExtStrCat ` U )
funcestrcsetc.s	|- S = ( SetCat ` U )
funcestrcsetc.b	|- B = ( Base ` E )
funcestrcsetc.c	|- C = ( Base ` S )
funcestrcsetc.u	|- ( ph -> U e. WUni )
funcestrcsetc.f	|- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
funcestrcsetc.g	|- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( ( Base ` y ) ^m ( Base ` x ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fullestrcsetc	|- ( ph -> F ( E Full S ) G )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, C   y, B, x   ph, y

Allowed substitution hints:   C( y)   S( x, y)   U( x, y)   E( x, y)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem fullestrcsetc

Dummy variables a b h k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcestrcsetc.e	. . 3 |- E = (ExtStrCat ` U )
2		funcestrcsetc.s	. . 3 |- S = ( SetCat ` U )
3		funcestrcsetc.b	. . 3 |- B = ( Base ` E )
4		funcestrcsetc.c	. . 3 |- C = ( Base ` S )
5		funcestrcsetc.u	. . 3 |- ( ph -> U e. WUni )
6		funcestrcsetc.f	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
7		funcestrcsetc.g	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( ( Base ` y ) ^m ( Base ` x ) ) ) ) )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcestrcsetc 16789	. 2 |- ( ph -> F ( E Func S ) G )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcestrcsetclem8 16787	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a G b ) : ( a ( Hom ` E ) b ) --> ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) )
10	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> U e. WUni )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Hom ` S ) = ( Hom ` S )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcestrcsetclem2 16781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( F ` a ) e. U )
13	12	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( F ` a ) e. U )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcestrcsetclem2 16781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( F ` b ) e. U )
15	14	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( F ` b ) e. U )
16	2, 10, 11, 13, 15	elsetchom 16731	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( h e. ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) <-> h : ( F ` a ) --> ( F ` b ) ) )
17	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcestrcsetclem1 16780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( F ` a ) = ( Base ` a ) )
18	17	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( F ` a ) = ( Base ` a ) )
19	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcestrcsetclem1 16780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( F ` b ) = ( Base ` b ) )
20	19	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( F ` b ) = ( Base ` b ) )
21	18, 20	feq23d 6040	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( h : ( F ` a ) --> ( F ` b ) <-> h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) )
22	16, 21	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( h e. ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) <-> h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) )
23		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` b ) e. _V
24		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` a ) e. _V
25	23, 24	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Base ` b ) e. _V /\ ( Base ` a ) e. _V )
26		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Base ` b ) e. _V /\ ( Base ` a ) e. _V ) -> ( h e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) <-> h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) )
27	25, 26	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( h e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) <-> h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) )
28	27	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) -> h e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) )
29		equequ2 1953	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = h -> ( h = k <-> h = h ) )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) /\ k = h ) -> ( h = k <-> h = h ) )
31		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) -> h = h )
32	28, 30, 31	rspcedvd 3317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) -> E. k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) h = k )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` a ) = ( Base ` a )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` b ) = ( Base ` b )
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 33, 34	funcestrcsetclem6 16785	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) ) -> ( ( a G b ) ` k ) = k )
36	35	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) ) -> ( ( a G b ) ` k ) = k )
37	36	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) ) -> ( h = ( ( a G b ) ` k ) <-> h = k ) )
38	37	rexbidva 3049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( E. k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) h = ( ( a G b ) ` k ) <-> E. k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) h = k ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) -> ( E. k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) h = ( ( a G b ) ` k ) <-> E. k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) h = k ) )
40	32, 39	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) -> E. k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) h = ( ( a G b ) ` k ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Hom ` E ) = ( Hom ` E )
42	1, 5	estrcbas 16765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U = ( Base ` E ) )
43	42, 3	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B = U )
44	43	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( a e. B <-> a e. U ) )
45	44	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. B -> ( ph -> a e. U ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. B /\ b e. B ) -> ( ph -> a e. U ) )
47	46	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> a e. U )
48	43	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( b e. B <-> b e. U ) )
49	48	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. B -> ( ph -> b e. U ) )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. B /\ b e. B ) -> ( ph -> b e. U ) )
51	50	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> b e. U )
52	1, 10, 41, 47, 51, 33, 34	estrchom 16767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( Hom ` E ) b ) = ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) )
53	52	rexeqdv 3145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( E. k e. ( a ( Hom ` E ) b ) h = ( ( a G b ) ` k ) <-> E. k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) h = ( ( a G b ) ` k ) ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) -> ( E. k e. ( a ( Hom ` E ) b ) h = ( ( a G b ) ` k ) <-> E. k e. ( ( Base ` b ) ^m ( Base ` a ) ) h = ( ( a G b ) ` k ) ) )
55	40, 54	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) ) -> E. k e. ( a ( Hom ` E ) b ) h = ( ( a G b ) ` k ) )
56	55	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( h : ( Base ` a ) --> ( Base ` b ) -> E. k e. ( a ( Hom ` E ) b ) h = ( ( a G b ) ` k ) ) )
57	22, 56	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( h e. ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) -> E. k e. ( a ( Hom ` E ) b ) h = ( ( a G b ) ` k ) ) )
58	57	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> A. h e. ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) E. k e. ( a ( Hom ` E ) b ) h = ( ( a G b ) ` k ) )
59		dffo3 6374	. . . 4 |- ( ( a G b ) : ( a ( Hom ` E ) b ) -onto-> ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) <-> ( ( a G b ) : ( a ( Hom ` E ) b ) --> ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) /\ A. h e. ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) E. k e. ( a ( Hom ` E ) b ) h = ( ( a G b ) ` k ) ) )
60	9, 58, 59	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a G b ) : ( a ( Hom ` E ) b ) -onto-> ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) )
61	60	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B ( a G b ) : ( a ( Hom ` E ) b ) -onto-> ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) )
62	3, 11, 41	isfull2 16571	. 2 |- ( F ( E Full S ) G <-> ( F ( E Func S ) G /\ A. a e. B A. b e. B ( a G b ) : ( a ( Hom ` E ) b ) -onto-> ( ( F ` a ) ( Hom ` S ) ( F ` b ) ) ) )
63	8, 61, 62	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> F ( E Full S ) G )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857  WUnicwun 9522   Basecbs 15857   Hom chom 15952   Func cfunc 16514   Full cful 16562   SetCatcsetc 16725  ExtStrCatcestrc 16762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wun 9524  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-func 16518  df-full 16564  df-setc 16726  df-estrc 16763

This theorem is referenced by:  equivestrcsetc  16792