Theorem funcestrcsetclem8 16787

Description: Lemma 8 for funcestrcsetc 16789. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcestrcsetc.e	|- E = (ExtStrCat ` U )
funcestrcsetc.s	|- S = ( SetCat ` U )
funcestrcsetc.b	|- B = ( Base ` E )
funcestrcsetc.c	|- C = ( Base ` S )
funcestrcsetc.u	|- ( ph -> U e. WUni )
funcestrcsetc.f	|- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
funcestrcsetc.g	|- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( ( Base ` y ) ^m ( Base ` x ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
funcestrcsetclem8	|- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X G Y ) : ( X ( Hom ` E ) Y ) --> ( ( F ` X ) ( Hom ` S ) ( F ` Y ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, X   ph, x   x, C   y, B, x   y, X   ph, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   C( y)   S( x, y)   U( x, y)   E( x, y)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem funcestrcsetclem8

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6174	. . . 4 |- ( _I |` ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) : ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) -1-1-onto-> ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) )
2		f1of 6137	. . . 4 |- ( ( _I |` ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) : ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) -1-1-onto-> ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) -> ( _I |` ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) : ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) --> ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( _I |` ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) : ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) --> ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
4		elmapi 7879	. . . . 5 |- ( f e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) -> f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
5		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` Y ) e. _V
6		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` X ) e. _V
7	5, 6	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( Base ` Y ) e. _V /\ ( Base ` X ) e. _V )
8		elmapg 7870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Base ` Y ) e. _V /\ ( Base ` X ) e. _V ) -> ( f e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) <-> f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) )
9	8	bicomd 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Base ` Y ) e. _V /\ ( Base ` X ) e. _V ) -> ( f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) <-> f e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) )
10	7, 9	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) <-> f e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) )
11	10	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) -> f e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
12		funcestrcsetc.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = (ExtStrCat ` U )
13		funcestrcsetc.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( SetCat ` U )
14		funcestrcsetc.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` E )
15		funcestrcsetc.c	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( Base ` S )
16		funcestrcsetc.u	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. WUni )
17		funcestrcsetc.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	funcestrcsetclem1 16780	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
19	18	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
20	12, 13, 14, 15, 16, 17	funcestrcsetclem1 16780	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
21	20	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
22	19, 21	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) = ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) -> ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) = ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
24	11, 23	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) -> f e. ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) )
25	24	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) -> f e. ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) ) )
26	4, 25	syl5 34	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( f e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) -> f e. ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) ) )
27	26	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) C_ ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) )
28	3, 27	fssd 6057	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( _I |` ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) : ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) --> ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) )
29		funcestrcsetc.g	. . . 4 |- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( ( Base ` y ) ^m ( Base ` x ) ) ) ) )
30		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
31		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
32	12, 13, 14, 15, 16, 17, 29, 30, 31	funcestrcsetclem5 16784	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X G Y ) = ( _I |` ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) )
33	16	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> U e. WUni )
34		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` E ) = ( Hom ` E )
35	12, 16	estrcbas 16765	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U = ( Base ` E ) )
36	35, 14	syl6reqr 2675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = U )
37	36	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. B <-> X e. U ) )
38	37	biimpcd 239	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( ph -> X e. U ) )
39	38	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ph -> X e. U ) )
40	39	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. U )
41	36	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y e. B <-> Y e. U ) )
42	41	biimpd 219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y e. B -> Y e. U ) )
43	42	adantld 483	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. U ) )
44	43	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. U )
45	12, 33, 34, 40, 44, 30, 31	estrchom 16767	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( Hom ` E ) Y ) = ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
46		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` S ) = ( Hom ` S )
47	12, 13, 14, 15, 16, 17	funcestrcsetclem2 16781	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. U )
48	47	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` X ) e. U )
49	12, 13, 14, 15, 16, 17	funcestrcsetclem2 16781	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) e. U )
50	49	adantrl 752	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
51	13, 33, 46, 48, 50	setchom 16730	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` X ) ( Hom ` S ) ( F ` Y ) ) = ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) )
52	32, 45, 51	feq123d 6034	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X G Y ) : ( X ( Hom ` E ) Y ) --> ( ( F ` X ) ( Hom ` S ) ( F ` Y ) ) <-> ( _I |` ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) : ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) --> ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) ) )
53	28, 52	mpbird 247	1 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X G Y ) : ( X ( Hom ` E ) Y ) --> ( ( F ` X ) ( Hom ` S ) ( F ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857  WUnicwun 9522   Basecbs 15857   Hom chom 15952   SetCatcsetc 16725  ExtStrCatcestrc 16762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wun 9524  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-setc 16726  df-estrc 16763

This theorem is referenced by:  funcestrcsetc  16789  fthestrcsetc  16790  fullestrcsetc  16791