Theorem funcestrcsetclem9 16788

Description: Lemma 9 for funcestrcsetc 16789. (Contributed by AV, 23-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcestrcsetc.e	|- E = (ExtStrCat ` U )
funcestrcsetc.s	|- S = ( SetCat ` U )
funcestrcsetc.b	|- B = ( Base ` E )
funcestrcsetc.c	|- C = ( Base ` S )
funcestrcsetc.u	|- ( ph -> U e. WUni )
funcestrcsetc.f	|- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
funcestrcsetc.g	|- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( ( Base ` y ) ^m ( Base ` x ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
funcestrcsetclem9	|- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( H e. ( X ( Hom ` E ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` E ) Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` E ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, X   ph, x   x, C   y, B, x   y, X   ph, y   x, Y, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   C( y)   S( x, y)   U( x, y)   E( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem funcestrcsetclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcestrcsetc.e	. . . . . 6 |- E = (ExtStrCat ` U )
2		funcestrcsetc.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. WUni )
3	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> U e. WUni )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom ` E ) = ( Hom ` E )
5	1, 2	estrcbas 16765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U = ( Base ` E ) )
6		funcestrcsetc.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` E )
7	5, 6	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B = U )
8	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X e. B <-> X e. U ) )
9	8	biimpcd 239	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( ph -> X e. U ) )
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ph -> X e. U ) )
11	10	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. U )
12	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y e. B <-> Y e. U ) )
13	12	biimpcd 239	. . . . . . . 8 |- ( Y e. B -> ( ph -> Y e. U ) )
14	13	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ph -> Y e. U ) )
15	14	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. U )
16		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
17		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
18	1, 3, 4, 11, 15, 16, 17	estrchom 16767	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ( Hom ` E ) Y ) = ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
19	18	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( H e. ( X ( Hom ` E ) Y ) <-> H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) )
20	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z e. B <-> Z e. U ) )
21	20	biimpcd 239	. . . . . . . 8 |- ( Z e. B -> ( ph -> Z e. U ) )
22	21	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ph -> Z e. U ) )
23	22	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. U )
24		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
25	1, 3, 4, 15, 23, 17, 24	estrchom 16767	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y ( Hom ` E ) Z ) = ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) )
26	25	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( K e. ( Y ( Hom ` E ) Z ) <-> K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) )
27	19, 26	anbi12d 747	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X ( Hom ` E ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` E ) Z ) ) <-> ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) )
28		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) -> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) )
29		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) -> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
30		fco 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) /\ H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) -> ( K o. H ) : ( Base ` X ) --> ( Base ` Z ) )
31	28, 29, 30	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) /\ H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) -> ( K o. H ) : ( Base ` X ) --> ( Base ` Z ) )
32		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` Z ) e. _V
33		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` X ) e. _V
34	32, 33	elmap 7886	. . . . . . . . 9 |- ( ( K o. H ) e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) <-> ( K o. H ) : ( Base ` X ) --> ( Base ` Z ) )
35	31, 34	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) /\ H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) -> ( K o. H ) e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) )
36	35	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) -> ( K o. H ) e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) )
37	36	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( K o. H ) e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) )
38		fvresi 6439	. . . . . 6 |- ( ( K o. H ) e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) -> ( ( _I |` ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) ) ` ( K o. H ) ) = ( K o. H ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( _I |` ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) ) ` ( K o. H ) ) = ( K o. H ) )
40		funcestrcsetc.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( SetCat ` U )
41		funcestrcsetc.c	. . . . . . . . 9 |- C = ( Base ` S )
42		funcestrcsetc.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
43		funcestrcsetc.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( ( Base ` y ) ^m ( Base ` x ) ) ) ) )
44	1, 40, 6, 41, 2, 42, 43, 16, 24	funcestrcsetclem5 16784	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) ) )
45	44	3adantr2 1221	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) ) )
46	45	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) ) )
47	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> U e. WUni )
48		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (comp ` E ) = (comp ` E )
49	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> X e. U )
50	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> Y e. U )
51	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> Z e. U )
52	29	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
53	28	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) )
54	1, 47, 48, 49, 50, 51, 16, 17, 24, 52, 53	estrcco 16770	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( K ( <. X , Y >. (comp ` E ) Z ) H ) = ( K o. H ) )
55	46, 54	fveq12d 6197	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` E ) Z ) H ) ) = ( ( _I |` ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` X ) ) ) ` ( K o. H ) ) )
56		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (comp ` S ) = (comp ` S )
57	1, 40, 6, 41, 2, 42	funcestrcsetclem2 16781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. U )
58	57	3ad2antr1 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` X ) e. U )
59	58	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F ` X ) e. U )
60	1, 40, 6, 41, 2, 42	funcestrcsetclem2 16781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) e. U )
61	60	3ad2antr2 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
63	1, 40, 6, 41, 2, 42	funcestrcsetclem2 16781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Z e. B ) -> ( F ` Z ) e. U )
64	63	3ad2antr3 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Z ) e. U )
65	64	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F ` Z ) e. U )
66	1, 40, 6, 41, 2, 42	funcestrcsetclem1 16780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
67	66	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
68	1, 40, 6, 41, 2, 42	funcestrcsetclem1 16780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
69	68	3ad2antr2 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
70	67, 69	feq23d 6040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) )
72	52, 71	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) )
73		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ph )
74		3simpa 1058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
75	74	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
76		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
77	1, 40, 6, 41, 2, 42, 43, 16, 17	funcestrcsetclem6 16785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )
78	73, 75, 76, 77	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )
79	78	feq1d 6030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( ( X G Y ) ` H ) : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) ) )
80	72, 79	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) )
81	1, 40, 6, 41, 2, 42	funcestrcsetclem1 16780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Z e. B ) -> ( F ` Z ) = ( Base ` Z ) )
82	81	3ad2antr3 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Z ) = ( Base ` Z ) )
83	69, 82	feq23d 6040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) ) )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) ) )
85	53, 84	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) )
86		3simpc 1060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y e. B /\ Z e. B ) )
87	86	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( Y e. B /\ Z e. B ) )
88		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) )
89	1, 40, 6, 41, 2, 42, 43, 17, 24	funcestrcsetclem6 16785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) = K )
90	73, 87, 88, 89	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) = K )
91	90	feq1d 6030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) ) )
92	85, 91	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) )
93	40, 47, 56, 59, 62, 65, 80, 92	setcco 16733	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) o. ( ( X G Y ) ` H ) ) )
94	90, 78	coeq12d 5286	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) o. ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( K o. H ) )
95	93, 94	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( K o. H ) )
96	39, 55, 95	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` E ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )
97	96	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) /\ K e. ( ( Base ` Z ) ^m ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` E ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) ) )
98	27, 97	sylbid 230	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X ( Hom ` E ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` E ) Z ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` E ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) ) )
99	98	3impia 1261	1 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( H e. ( X ( Hom ` E ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` E ) Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` E ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857  WUnicwun 9522   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   SetCatcsetc 16725  ExtStrCatcestrc 16762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wun 9524  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-setc 16726  df-estrc 16763

This theorem is referenced by:  funcestrcsetc  16789