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Theorem ballotlemfp1 30553
Description: If the J th ballot is for A, ( F ` C ) goes up 1. If the J th ballot is for B, ( F ` C ) goes down 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m |- M e. NN
ballotth.n |- N e. NN
ballotth.o |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotlemfp1.c |- ( ph -> C e. O )
ballotlemfp1.j |- ( ph -> J e. NN )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfp1 |- ( ph -> ( ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O, c   F, c, i   C, i   i, J   ph, i
Allowed substitution hints:   ph( x, c)   C( x, c)   P( x, i, c)   F( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)
Proof of Theorem ballotlemfp1
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6 |- M e. NN
2 ballotth.n . . . . . 6 |- N e. NN
3 ballotth.o . . . . . 6 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p . . . . . 6 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f . . . . . 6 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotlemfp1.c . . . . . 6 |- ( ph -> C e. O )
7 ballotlemfp1.j . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. NN )
87nnzd 11481 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. ZZ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ballotlemfval 30551 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
109adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
11 fzfi 12771 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin
12 inss1 3833 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) )
13 ssfi 8180 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin )
1411, 12, 13mp2an 708 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin
15 hashcl 13147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. NN0 )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. NN0
1716nn0cni 11304 . . . . . . 7 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC
1817a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC )
19 diffi 8192 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin )
2011, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin
21 hashcl 13147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. NN0 )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. NN0
2322nn0cni 11304 . . . . . . 7 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC
2423a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC )
25 1cnd 10056 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> 1 e. CC )
2618, 24, 25subsub4d 10423 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
27 1zzd 11408 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
288, 27zsubcld 11487 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ZZ )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 28ballotlemfval 30551 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
3029adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
3130oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) - 1 ) )
32 elnnuz 11724 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. NN <-> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
337, 32sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
34 fzspl 29550 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... J ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) )
3534ineq1d 3813 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) i^i C ) )
36 indir 3875 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) )
3735, 36syl6eq 2672 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
3833, 37syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
3938adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
40 disjsn 4246 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C i^i { J } ) = (/) <-> -. J e. C )
41 incom 3805 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( C i^i { J } ) = ( { J } i^i C )
4241eqeq1i 2627 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C i^i { J } ) = (/) <-> ( { J } i^i C ) = (/) )
4340, 42sylbb1 227 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. J e. C -> ( { J } i^i C ) = (/) )
4443adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( { J } i^i C ) = (/) )
4544uneq2d 3767 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) )
46 un0 3967 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C )
4745, 46syl6eq 2672 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
4839, 47eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
4948fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) )
5034difeq1d 3727 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) \ C ) )
51 difundir 3880 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) )
5250, 51syl6eq 2672 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) )
5333, 52syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) )
54 disj3 4021 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { J } i^i C ) = (/) <-> { J } = ( { J } \ C ) )
5543, 54sylib 208 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. J e. C -> { J } = ( { J } \ C ) )
5655eqcomd 2628 . . . . . . . . . 10 |- ( -. J e. C -> ( { J } \ C ) = { J } )
5756uneq2d 3767 . . . . . . . . 9 |- ( -. J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) )
5853, 57sylan9eq 2676 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) )
5958fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) )
608adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> J e. ZZ )
61 uzid 11702 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ZZ -> J e. ( ZZ>= ` J ) )
62 uznfz 12423 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( ZZ>= ` J ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
638, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
6463adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
65 difss 3737 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) )
6665sseli 3599 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) -> J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
6764, 66nsyl 135 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) )
68 ssfi 8180 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin )
6911, 65, 68mp2an 708 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin
7067, 69jctil 560 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
71 hashunsng 13181 . . . . . . . 8 |- ( J e. ZZ -> ( ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
7260, 70, 71sylc 65 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) )
7359, 72eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) )
7449, 73oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
7526, 31, 743eqtr4rd 2667 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) )
7610, 75eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) )
7776ex 450 . 2 |- ( ph -> ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) )
789adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
7917a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC )
80 1cnd 10056 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> 1 e. CC )
8123a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC )
8279, 80, 81addsubd 10413 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) + 1 ) )
8338fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) )
8483adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) )
85 snssi 4339 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. C -> { J } C_ C )
86 df-ss 3588 . . . . . . . . . . 11 |- ( { J } C_ C <-> ( { J } i^i C ) = { J } )
8785, 86sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. C -> ( { J } i^i C ) = { J } )
8887uneq2d 3767 . . . . . . . . 9 |- ( J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) )
8988fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( J e. C -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) )
9089adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) )
91 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> J e. C )
928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> J e. ZZ )
9392, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
9412sseli 3599 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) -> J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
9593, 94nsyl 135 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
9695, 14jctil 560 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) )
97 hashunsng 13181 . . . . . . . 8 |- ( J e. C -> ( ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) ) )
9891, 96, 97sylc 65 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) )
9984, 90, 983eqtrd 2660 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) )
10053fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) )
101100adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) )
102 difin2 3890 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { J } C_ C -> ( { J } \ C ) = ( ( C \ C ) i^i { J } ) )
103 difid 3948 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C \ C ) = (/)
104103ineq1i 3810 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C \ C ) i^i { J } ) = ( (/) i^i { J } )
105 0in 3969 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) i^i { J } ) = (/)
106104, 105eqtri 2644 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C \ C ) i^i { J } ) = (/)
107102, 106syl6eq 2672 . . . . . . . . . . 11 |- ( { J } C_ C -> ( { J } \ C ) = (/) )
10885, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. C -> ( { J } \ C ) = (/) )
109108uneq2d 3767 . . . . . . . . 9 |- ( J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) )
110109fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( J e. C -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) )
111110adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) )
112 un0 3967 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C )
113112a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) )
114113fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
115101, 111, 1143eqtrd 2660 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
11699, 115oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
11729adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
118117oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) + 1 ) )
11982, 116, 1183eqtr4d 2666 . . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) )
12078, 119eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) )
121120ex 450 . 2 |- ( ph -> ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) )
12277, 121jca 554 1 |- ( ph -> ( ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118
This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  ballotlem4  30560  ballotlemi1  30564  ballotlemii  30565  ballotlemic  30568  ballotlem1c  30569
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