Theorem gsumsnfd 18351

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	|- B = ( Base ` G )
gsumsnd.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsumsnd.m	|- ( ph -> M e. V )
gsumsnd.c	|- ( ph -> C e. B )
gsumsnd.s	|- ( ( ph /\ k = M ) -> A = C )
gsumsnfd.p	|- F/ k ph
gsumsnfd.c	|- F/_ k C

Assertion

Ref	Expression
gsumsnfd	|- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Distinct variable group:   k, M

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   B( k)   C( k)   G( k)   V( k)

Proof of Theorem gsumsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnfd.p	. . . . 5 |- F/ k ph
2		elsni 4194	. . . . . 6 |- ( k e. { M } -> k = M )
3		gsumsnd.s	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = M ) -> A = C )
4	2, 3	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { M } ) -> A = C )
5	1, 4	mpteq2da 4743	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. { M } |-> A ) = ( k e. { M } |-> C ) )
6	5	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = ( G gsumg ( k e. { M } |-> C ) ) )
7		gsumsnd.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
8		snfi 8038	. . . . 5 |- { M } e. Fin
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { M } e. Fin )
10		gsumsnd.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. B )
11		gsumsnfd.c	. . . . 5 |- F/_ k C
12		gsumsnd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
14	11, 12, 13	gsumconstf 18335	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ { M } e. Fin /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> C ) ) = ( ( # ` { M } ) (.g ` G ) C ) )
15	7, 9, 10, 14	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> C ) ) = ( ( # ` { M } ) (.g ` G ) C ) )
16	6, 15	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = ( ( # ` { M } ) (.g ` G ) C ) )
17		gsumsnd.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. V )
18		hashsng 13159	. . . 4 |- ( M e. V -> ( # ` { M } ) = 1 )
19	17, 18	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( # ` { M } ) = 1 )
20	19	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { M } ) (.g ` G ) C ) = ( 1 (.g ` G ) C ) )
21	12, 13	mulg1 17548	. . 3 |- ( C e. B -> ( 1 (.g ` G ) C ) = C )
22	10, 21	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( 1 (.g ` G ) C ) = C )
23	16, 20, 22	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   #chash 13117   Basecbs 15857   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-cntz 17750

This theorem is referenced by:  gsumsnd  18352  gsumsnf  18353  gsumunsnfd  18356  esumsnf  30126  gsumdifsndf  42144