Theorem frgrwopreglem5 27185

Description: Lemma 5 for frgrwopreg 27187. If A as well as B contain at least two vertices, there is a 4-cycle in a friendship graph. This corresponds to statement 6 in [Huneke] p. 2: "... otherwise, there are two different vertices in A, and they have two common neighbors in B, ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	|- V = (Vtx ` G )
frgrwopreg.d	|- D = (VtxDeg ` G )
frgrwopreg.a	|- A = { x e. V | ( D ` x ) = K }
frgrwopreg.b	|- B = ( V \ A )
frgrwopreg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5	|- ( ( G e. FriendGraph /\ 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )

Distinct variable groups:   x, V   x, A   x, G   x, K   x, D   A, b   x, B   y, D   G, a, b, y, x   y, V   A, a, y   B, a, b, y   x, E

Allowed substitution hints:   D( a, b)   E( y, a, b)   K( y, a, b)   V( a, b)

Proof of Theorem frgrwopreglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> a =/= x )
2	1	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ b =/= y ) -> ( a =/= x /\ b =/= y ) )
3		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> G e. FriendGraph )
4		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = a -> ( D ` x ) = ( D ` a ) )
5	4	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = a -> ( ( D ` x ) = K <-> ( D ` a ) = K ) )
6		frgrwopreg.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- A = { x e. V | ( D ` x ) = K }
7	5, 6	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. A <-> ( a e. V /\ ( D ` a ) = K ) )
8		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. V /\ ( D ` a ) = K ) -> a e. V )
9	7, 8	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. A -> a e. V )
10		rabidim1 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. { x e. V | ( D ` x ) = K } -> x e. V )
11	10, 6	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A -> x e. V )
12	9, 11	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. A /\ x e. A ) -> ( a e. V /\ x e. V ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) -> ( a e. V /\ x e. V ) )
14		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b e. ( V \ A ) -> b e. V )
15		frgrwopreg.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- B = ( V \ A )
16	14, 15	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. B -> b e. V )
17		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( V \ A ) -> y e. V )
18	17, 15	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. B -> y e. V )
19	16, 18	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. B /\ y e. B ) -> ( b e. V /\ y e. V ) )
20	13, 19	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( a e. V /\ x e. V ) /\ ( b e. V /\ y e. V ) ) )
21		frgrwopreg.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- V = (Vtx ` G )
22		frgrwopreg.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- D = (VtxDeg ` G )
23		frgrwopreg.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- E = (Edg ` G )
24	21, 22, 6, 15, 23	frgrwopreglem5lem 27184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( D ` a ) = ( D ` x ) /\ ( D ` a ) =/= ( D ` b ) /\ ( D ` x ) =/= ( D ` y ) ) )
25	24	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( D ` a ) = ( D ` x ) /\ ( D ` a ) =/= ( D ` b ) /\ ( D ` x ) =/= ( D ` y ) ) )
26	3, 20, 25	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( G e. FriendGraph /\ ( ( a e. V /\ x e. V ) /\ ( b e. V /\ y e. V ) ) /\ ( ( D ` a ) = ( D ` x ) /\ ( D ` a ) =/= ( D ` b ) /\ ( D ` x ) =/= ( D ` y ) ) ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ b =/= y ) -> ( G e. FriendGraph /\ ( ( a e. V /\ x e. V ) /\ ( b e. V /\ y e. V ) ) /\ ( ( D ` a ) = ( D ` x ) /\ ( D ` a ) =/= ( D ` b ) /\ ( D ` x ) =/= ( D ` y ) ) ) )
28	21, 22, 23	frgrwopreglem5a 27175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. FriendGraph /\ ( ( a e. V /\ x e. V ) /\ ( b e. V /\ y e. V ) ) /\ ( ( D ` a ) = ( D ` x ) /\ ( D ` a ) =/= ( D ` b ) /\ ( D ` x ) =/= ( D ` y ) ) ) -> ( ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ b =/= y ) -> ( ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )
30		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) <-> ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
31	2, 29, 30	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ b =/= y ) -> ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )
32	31	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( b =/= y -> ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
33	32	reximdvva 3019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) -> ( E. b e. B E. y e. B b =/= y -> E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
34	33	exp31 630	. . . . . . . . 9 |- ( G e. FriendGraph -> ( a =/= x -> ( ( a e. A /\ x e. A ) -> ( E. b e. B E. y e. B b =/= y -> E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) ) ) )
35	34	com24 95	. . . . . . . 8 |- ( G e. FriendGraph -> ( E. b e. B E. y e. B b =/= y -> ( ( a e. A /\ x e. A ) -> ( a =/= x -> E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) ) ) )
36	35	imp31 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) -> ( a =/= x -> E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
37	36	reximdvva 3019	. . . . . 6 |- ( ( G e. FriendGraph /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) -> ( E. a e. A E. x e. A a =/= x -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
38	37	ex 450	. . . . 5 |- ( G e. FriendGraph -> ( E. b e. B E. y e. B b =/= y -> ( E. a e. A E. x e. A a =/= x -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) ) )
39	38	com13 88	. . . 4 |- ( E. a e. A E. x e. A a =/= x -> ( E. b e. B E. y e. B b =/= y -> ( G e. FriendGraph -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) ) )
40	39	imp 445	. . 3 |- ( ( E. a e. A E. x e. A a =/= x /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) -> ( G e. FriendGraph -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
41	21, 22, 6, 15	frgrwopreglem1 27176	. . . 4 |- ( A e. _V /\ B e. _V )
42		hashgt12el 13210	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ 1 < ( # ` A ) ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x )
43	42	ex 450	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( 1 < ( # ` A ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x ) )
44		hashgt12el 13210	. . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. b e. B E. y e. B b =/= y )
45	44	ex 450	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( 1 < ( # ` B ) -> E. b e. B E. y e. B b =/= y ) )
46	43, 45	im2anan9 880	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( ( 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> ( E. a e. A E. x e. A a =/= x /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) ) )
47	41, 46	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> ( E. a e. A E. x e. A a =/= x /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) )
48	40, 47	syl11 33	. 2 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
49	48	3impib 1262	1 |- ( ( G e. FriendGraph /\ 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   1c1 9937   < clt 10074   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  VtxDegcvtxdg 26361   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-ushgr 25954  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-nbgr 26228  df-vtxdg 26362  df-frgr 27121

This theorem is referenced by:  frgrwopreg  27187