Theorem frgrwopreglem5ALT 27186

Description: Alternate direct proof of frgrwopreglem5 27185, not using frgrwopreglem5a 27175. This proof would be even a little bit shorter than the proof of frgrwopreglem5 27185 without using frgrwopreglem5lem 27184. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 5-Feb-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	|- V = (Vtx ` G )
frgrwopreg.d	|- D = (VtxDeg ` G )
frgrwopreg.a	|- A = { x e. V | ( D ` x ) = K }
frgrwopreg.b	|- B = ( V \ A )
frgrwopreg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5ALT	|- ( ( G e. FriendGraph /\ 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )

Distinct variable groups:   x, V   x, A   x, G   x, K   x, D   A, b   x, B   y, D   G, a, b, y, x   y, V   A, a, y   B, a, b, y   x, E, a, b

Allowed substitution hints:   D( a, b)   E( y)   K( y, a, b)   V( a, b)

Proof of Theorem frgrwopreglem5ALT

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> a =/= x )
2	1	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ b =/= y ) -> ( a =/= x /\ b =/= y ) )
3		frgrwopreg.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- V = (Vtx ` G )
4		frgrwopreg.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- D = (VtxDeg ` G )
5		frgrwopreg.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- A = { x e. V | ( D ` x ) = K }
6		frgrwopreg.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B = ( V \ A )
7		frgrwopreg.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- E = (Edg ` G )
8	3, 4, 5, 6, 7	frgrwopreglem4 27179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G e. FriendGraph -> A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E )
9		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = a -> { z , b } = { a , b } )
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = a -> ( { z , b } e. E <-> { a , b } e. E ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = a -> ( A. b e. B { z , b } e. E <-> A. b e. B { a , b } e. E ) )
12	11	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E <-> A. a e. A A. b e. B { a , b } e. E )
13		rsp2 2936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. a e. A A. b e. B { a , b } e. E -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> { a , b } e. E ) )
14	13	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( A. a e. A A. b e. B { a , b } e. E -> { a , b } e. E ) )
15	14	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( A. a e. A A. b e. B { a , b } e. E -> { a , b } e. E ) )
16	12, 15	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E -> { a , b } e. E ) )
17	16	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E ) -> { a , b } e. E )
18		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { b , x } = { x , b }
19		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z = x -> { z , b } = { x , b } )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = x -> ( { z , b } e. E <-> { x , b } e. E ) )
21	20	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = x -> ( A. b e. B { z , b } e. E <-> A. b e. B { x , b } e. E ) )
22	21	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E <-> A. x e. A A. b e. B { x , b } e. E )
23		rsp2 2936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. x e. A A. b e. B { x , b } e. E -> ( ( x e. A /\ b e. B ) -> { x , b } e. E ) )
24	22, 23	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E -> ( ( x e. A /\ b e. B ) -> { x , b } e. E ) )
25	24	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. A /\ b e. B ) -> ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E -> { x , b } e. E ) )
26	25	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E -> { x , b } e. E ) )
27	26	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E ) -> { x , b } e. E )
28	18, 27	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E ) -> { b , x } e. E )
29	17, 28	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E ) -> ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) )
30	29	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E -> ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) ) )
31	8, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) -> ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) ) )
33	32	impl 650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ b =/= y ) -> ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) )
35		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = y -> { x , b } = { x , y } )
36	35	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = y -> ( { x , b } e. E <-> { x , y } e. E ) )
37	20, 36	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E -> { x , y } e. E ) )
38	37	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E -> { x , y } e. E ) )
39	38	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E /\ ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) ) -> { x , y } e. E )
40		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { y , a } = { a , y }
41		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( b = y -> { a , b } = { a , y } )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = y -> ( { a , b } e. E <-> { a , y } e. E ) )
43	10, 42	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. A /\ y e. B ) -> ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E -> { a , y } e. E ) )
44	43	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E -> { a , y } e. E ) )
45	44	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E /\ ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) ) -> { a , y } e. E )
46	40, 45	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E /\ ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) ) -> { y , a } e. E )
47	39, 46	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E /\ ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) ) -> ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) )
48	47	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. A A. b e. B { z , b } e. E -> ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )
49	8, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) -> ( ( ( a e. A /\ x e. A ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )
51	50	impl 650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ b =/= y ) -> ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) )
53	2, 34, 52	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) /\ b =/= y ) -> ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )
54	53	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) /\ ( b e. B /\ y e. B ) ) -> ( b =/= y -> ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
55	54	reximdvva 3019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ a =/= x ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) -> ( E. b e. B E. y e. B b =/= y -> E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
56	55	exp31 630	. . . . . . . . 9 |- ( G e. FriendGraph -> ( a =/= x -> ( ( a e. A /\ x e. A ) -> ( E. b e. B E. y e. B b =/= y -> E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) ) ) )
57	56	com24 95	. . . . . . . 8 |- ( G e. FriendGraph -> ( E. b e. B E. y e. B b =/= y -> ( ( a e. A /\ x e. A ) -> ( a =/= x -> E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) ) ) )
58	57	imp31 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) /\ ( a e. A /\ x e. A ) ) -> ( a =/= x -> E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
59	58	reximdvva 3019	. . . . . 6 |- ( ( G e. FriendGraph /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) -> ( E. a e. A E. x e. A a =/= x -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
60	59	ex 450	. . . . 5 |- ( G e. FriendGraph -> ( E. b e. B E. y e. B b =/= y -> ( E. a e. A E. x e. A a =/= x -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) ) )
61	60	com13 88	. . . 4 |- ( E. a e. A E. x e. A a =/= x -> ( E. b e. B E. y e. B b =/= y -> ( G e. FriendGraph -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) ) )
62	61	imp 445	. . 3 |- ( ( E. a e. A E. x e. A a =/= x /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) -> ( G e. FriendGraph -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
63	3, 4, 5, 6	frgrwopreglem1 27176	. . . 4 |- ( A e. _V /\ B e. _V )
64		hashgt12el 13210	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ 1 < ( # ` A ) ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x )
65	64	ex 450	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( 1 < ( # ` A ) -> E. a e. A E. x e. A a =/= x ) )
66		hashgt12el 13210	. . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. b e. B E. y e. B b =/= y )
67	66	ex 450	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( 1 < ( # ` B ) -> E. b e. B E. y e. B b =/= y ) )
68	65, 67	im2anan9 880	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( ( 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> ( E. a e. A E. x e. A a =/= x /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) ) )
69	63, 68	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> ( E. a e. A E. x e. A a =/= x /\ E. b e. B E. y e. B b =/= y ) )
70	62, 69	syl11 33	. 2 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) ) )
71	70	3impib 1262	1 |- ( ( G e. FriendGraph /\ 1 < ( # ` A ) /\ 1 < ( # ` B ) ) -> E. a e. A E. x e. A E. b e. B E. y e. B ( ( a =/= x /\ b =/= y ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , x } e. E ) /\ ( { x , y } e. E /\ { y , a } e. E ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   1c1 9937   < clt 10074   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  VtxDegcvtxdg 26361   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-ushgr 25954  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-nbgr 26228  df-vtxdg 26362  df-frgr 27121

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