Theorem imasvscaval 16198

Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasvscaf.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasvscaf.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasvscaf.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasvscaf.g	|- G = (Scalar ` R )
imasvscaf.k	|- K = ( Base ` G )
imasvscaf.q	|- .x. = ( .s ` R )
imasvscaf.s	|- .xb = ( .s ` U )
imasvscaf.e	|- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` q ) -> ( F ` ( p .x. a ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
imasvscaval	|- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( X .xb ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )

Distinct variable groups:   p, a, q, F   K, a, p, q   ph, a, p, q   B, p, q   R, p, q   .x. , p, q   .xb , a, p, q   V, a, p, q   X, p   Y, p, q

Allowed substitution hints:   B( a)   R( a)   .x. ( a)   U( q, p, a)   G( q, p, a)   X( q, a)   Y( a)   Z( q, p, a)

Proof of Theorem imasvscaval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvscaf.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasvscaf.v	. . . . . . 7 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasvscaf.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasvscaf.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Z )
5		imasvscaf.g	. . . . . . 7 |- G = (Scalar ` R )
6		imasvscaf.k	. . . . . . 7 |- K = ( Base ` G )
7		imasvscaf.q	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` R )
8		imasvscaf.s	. . . . . . 7 |- .xb = ( .s ` U )
9		imasvscaf.e	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` q ) -> ( F ` ( p .x. a ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	imasvscafn 16197	. . . . . 6 |- ( ph -> .xb Fn ( K X. B ) )
11		fnfun 5988	. . . . . 6 |- ( .xb Fn ( K X. B ) -> Fun .xb )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> Fun .xb )
13	12	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> Fun .xb )
14		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( q = Y -> K = K )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( q = Y -> ( F ` q ) = ( F ` Y ) )
16	15	sneqd 4189	. . . . . . . 8 |- ( q = Y -> { ( F ` q ) } = { ( F ` Y ) } )
17		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( q = Y -> ( p .x. q ) = ( p .x. Y ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( q = Y -> ( F ` ( p .x. q ) ) = ( F ` ( p .x. Y ) ) )
19	14, 16, 18	mpt2eq123dv 6717	. . . . . . 7 |- ( q = Y -> ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) = ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) )
20	19	ssiun2s 4564	. . . . . 6 |- ( Y e. V -> ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) C_ U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
21	20	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) C_ U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	imasvsca 16180	. . . . . 6 |- ( ph -> .xb = U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
23	22	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> .xb = U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
24	21, 23	sseqtr4d 3642	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) C_ .xb )
25		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> X e. K )
26		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( F ` Y ) e. _V
27	26	snid 4208	. . . . . 6 |- ( F ` Y ) e. { ( F ` Y ) }
28		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( X e. K /\ ( F ` Y ) e. { ( F ` Y ) } ) -> <. X , ( F ` Y ) >. e. ( K X. { ( F ` Y ) } ) )
29	25, 27, 28	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> <. X , ( F ` Y ) >. e. ( K X. { ( F ` Y ) } ) )
30		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) = ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) )
31		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( F ` ( p .x. Y ) ) e. _V
32	30, 31	dmmpt2 7240	. . . . 5 |- dom ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) = ( K X. { ( F ` Y ) } )
33	29, 32	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> <. X , ( F ` Y ) >. e. dom ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) )
34		funssfv 6209	. . . 4 |- ( ( Fun .xb /\ ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) C_ .xb /\ <. X , ( F ` Y ) >. e. dom ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ) -> ( .xb ` <. X , ( F ` Y ) >. ) = ( ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ` <. X , ( F ` Y ) >. ) )
35	13, 24, 33, 34	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( .xb ` <. X , ( F ` Y ) >. ) = ( ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ` <. X , ( F ` Y ) >. ) )
36		df-ov 6653	. . 3 |- ( X .xb ( F ` Y ) ) = ( .xb ` <. X , ( F ` Y ) >. )
37		df-ov 6653	. . 3 |- ( X ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ( F ` Y ) ) = ( ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ` <. X , ( F ` Y ) >. )
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( X .xb ( F ` Y ) ) = ( X ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ( F ` Y ) ) )
39		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( p = X -> ( p .x. Y ) = ( X .x. Y ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( p = X -> ( F ` ( p .x. Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )
41		eqidd 2623	. . . 4 |- ( x = ( F ` Y ) -> ( F ` ( X .x. Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )
42		fvex 6201	. . . 4 |- ( F ` ( X .x. Y ) ) e. _V
43	40, 41, 30, 42	ovmpt2 6796	. . 3 |- ( ( X e. K /\ ( F ` Y ) e. { ( F ` Y ) } ) -> ( X ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )
44	25, 27, 43	sylancl 694	. 2 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( X ( p e. K , x e. { ( F ` Y ) } |-> ( F ` ( p .x. Y ) ) ) ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )
45	38, 44	eqtrd 2656	1 |- ( ( ph /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( X .xb ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   "_s cimas 16164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-imas 16168

This theorem is referenced by:  xpsvsca  16239