Theorem imasvscafn 16197

Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasvscaf.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasvscaf.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasvscaf.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasvscaf.g	|- G = (Scalar ` R )
imasvscaf.k	|- K = ( Base ` G )
imasvscaf.q	|- .x. = ( .s ` R )
imasvscaf.s	|- .xb = ( .s ` U )
imasvscaf.e	|- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` q ) -> ( F ` ( p .x. a ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
imasvscafn	|- ( ph -> .xb Fn ( K X. B ) )

Distinct variable groups:   p, a, q, F   K, a, p, q   ph, a, p, q   B, p, q   R, p, q   .x. , p, q   .xb , a, p, q   V, a, p, q

Allowed substitution hints:   B( a)   R( a)   .x. ( a)   U( q, p, a)   G( q, p, a)   Z( q, p, a)

Proof of Theorem imasvscafn

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) = ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) )
2		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( F ` ( p .x. q ) ) e. _V
3	1, 2	fnmpt2i 7239	. . . . . . 7 |- ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) Fn ( K X. { ( F ` q ) } )
4		fnrel 5989	. . . . . . 7 |- ( ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) Fn ( K X. { ( F ` q ) } ) -> Rel ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Rel ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) )
6	5	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. q e. V Rel ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) )
7		reliun 5239	. . . . 5 |- ( Rel U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) <-> A. q e. V Rel ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
8	6, 7	mpbir 221	. . . 4 |- Rel U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) )
9		imasvscaf.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
10		imasvscaf.v	. . . . . 6 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
11		imasvscaf.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
12		imasvscaf.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Z )
13		imasvscaf.g	. . . . . 6 |- G = (Scalar ` R )
14		imasvscaf.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` G )
15		imasvscaf.q	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` R )
16		imasvscaf.s	. . . . . 6 |- .xb = ( .s ` U )
17	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	imasvsca 16180	. . . . 5 |- ( ph -> .xb = U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
18	17	releqd 5203	. . . 4 |- ( ph -> ( Rel .xb <-> Rel U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) )
19	8, 18	mpbiri 248	. . 3 |- ( ph -> Rel .xb )
20		dffn2 6047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) Fn ( K X. { ( F ` q ) } ) <-> ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) : ( K X. { ( F ` q ) } ) --> _V )
21	3, 20	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) : ( K X. { ( F ` q ) } ) --> _V
22		fssxp 6060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) : ( K X. { ( F ` q ) } ) --> _V -> ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ ( ( K X. { ( F ` q ) } ) X. _V ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ ( ( K X. { ( F ` q ) } ) X. _V )
24		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
25	11, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : V --> B )
26	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. V ) -> ( F ` q ) e. B )
27	26	snssd 4340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. V ) -> { ( F ` q ) } C_ B )
28		xpss2 5229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { ( F ` q ) } C_ B -> ( K X. { ( F ` q ) } ) C_ ( K X. B ) )
29		xpss1 5228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K X. { ( F ` q ) } ) C_ ( K X. B ) -> ( ( K X. { ( F ` q ) } ) X. _V ) C_ ( ( K X. B ) X. _V ) )
30	27, 28, 29	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. V ) -> ( ( K X. { ( F ` q ) } ) X. _V ) C_ ( ( K X. B ) X. _V ) )
31	23, 30	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. V ) -> ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ ( ( K X. B ) X. _V ) )
32	31	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ ( ( K X. B ) X. _V ) )
33		iunss 4561	. . . . . . . . 9 |- ( U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ ( ( K X. B ) X. _V ) <-> A. q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ ( ( K X. B ) X. _V ) )
34	32, 33	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ ( ( K X. B ) X. _V ) )
35	17, 34	eqsstrd 3639	. . . . . . 7 |- ( ph -> .xb C_ ( ( K X. B ) X. _V ) )
36		dmss 5323	. . . . . . 7 |- ( .xb C_ ( ( K X. B ) X. _V ) -> dom .xb C_ dom ( ( K X. B ) X. _V ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom .xb C_ dom ( ( K X. B ) X. _V ) )
38		vn0 3924	. . . . . . 7 |- _V =/= (/)
39		dmxp 5344	. . . . . . 7 |- ( _V =/= (/) -> dom ( ( K X. B ) X. _V ) = ( K X. B ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 |- dom ( ( K X. B ) X. _V ) = ( K X. B )
41	37, 40	syl6sseq 3651	. . . . 5 |- ( ph -> dom .xb C_ ( K X. B ) )
42		forn 6118	. . . . . . 7 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
43	11, 42	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran F = B )
44	43	xpeq2d 5139	. . . . 5 |- ( ph -> ( K X. ran F ) = ( K X. B ) )
45	41, 44	sseqtr4d 3642	. . . 4 |- ( ph -> dom .xb C_ ( K X. ran F ) )
46		df-br 4654	. . . . . . . . . 10 |- ( <. p , ( F ` a ) >. .xb w <-> <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. .xb )
47	17	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. .xb <-> <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V ) ) -> ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. .xb <-> <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) )
49		eliun 4524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) <-> E. q e. V <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
50		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) <-> ( ( p e. K /\ a e. V ) /\ q e. V ) )
51	1	mpt2fun 6762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- Fun ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) )
52		funopfv 6235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Fun ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> ( ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ` <. p , ( F ` a ) >. ) = w ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> ( ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ` <. p , ( F ` a ) >. ) = w )
54		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ( F ` a ) ) = ( ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ` <. p , ( F ` a ) >. )
55		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- <. p , ( F ` a ) >. e. _V
56		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- w e. _V
57	55, 56	opeldm 5328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> <. p , ( F ` a ) >. e. dom ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
58	1, 2	dmmpt2 7240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- dom ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) = ( K X. { ( F ` q ) } )
59	57, 58	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> <. p , ( F ` a ) >. e. ( K X. { ( F ` q ) } ) )
60		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. p , ( F ` a ) >. e. ( K X. { ( F ` q ) } ) <-> ( p e. K /\ ( F ` a ) e. { ( F ` q ) } ) )
61	59, 60	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> ( p e. K /\ ( F ` a ) e. { ( F ` q ) } ) )
62		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = p -> ( z .x. q ) = ( p .x. q ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = p -> ( F ` ( z .x. q ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) )
64		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( F ` a ) -> ( F ` ( p .x. q ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) )
65	63	equcoms 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = z -> ( F ` ( z .x. q ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) )
66	65	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = z -> ( F ` ( p .x. q ) ) = ( F ` ( z .x. q ) ) )
67		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> ( F ` ( z .x. q ) ) = ( F ` ( z .x. q ) ) )
68	66, 67	cbvmpt2v 6735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) = ( z e. K , y e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( z .x. q ) ) )
69	63, 64, 68, 2	ovmpt2 6796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. K /\ ( F ` a ) e. { ( F ` q ) } ) -> ( p ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ( F ` a ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) )
70	61, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> ( p ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ( F ` a ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) )
71	54, 70	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> ( ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ` <. p , ( F ` a ) >. ) = ( F ` ( p .x. q ) ) )
72	53, 71	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> w = ( F ` ( p .x. q ) ) )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) ) /\ <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) -> w = ( F ` ( p .x. q ) ) )
74	61	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> ( F ` a ) e. { ( F ` q ) } )
75		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` a ) e. { ( F ` q ) } -> ( F ` a ) = ( F ` q ) )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> ( F ` a ) = ( F ` q ) )
77		imasvscaf.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` q ) -> ( F ` ( p .x. a ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
78	77	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) ) /\ ( F ` a ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( p .x. a ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) )
79	76, 78	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) ) /\ <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) -> ( F ` ( p .x. a ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) )
80	73, 79	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) ) /\ <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) -> w = ( F ` ( p .x. a ) ) )
81	80	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> w = ( F ` ( p .x. a ) ) ) )
82	50, 81	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( p e. K /\ a e. V ) /\ q e. V ) ) -> ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> w = ( F ` ( p .x. a ) ) ) )
83	82	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V ) ) /\ q e. V ) -> ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> w = ( F ` ( p .x. a ) ) ) )
84	83	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V ) ) -> ( E. q e. V <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> w = ( F ` ( p .x. a ) ) ) )
85	49, 84	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V ) ) -> ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> w = ( F ` ( p .x. a ) ) ) )
86	48, 85	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V ) ) -> ( <. <. p , ( F ` a ) >. , w >. e. .xb -> w = ( F ` ( p .x. a ) ) ) )
87	46, 86	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V ) ) -> ( <. p , ( F ` a ) >. .xb w -> w = ( F ` ( p .x. a ) ) ) )
88	87	alrimiv 1855	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V ) ) -> A. w ( <. p , ( F ` a ) >. .xb w -> w = ( F ` ( p .x. a ) ) ) )
89		mo2icl 3385	. . . . . . . 8 |- ( A. w ( <. p , ( F ` a ) >. .xb w -> w = ( F ` ( p .x. a ) ) ) -> E* w <. p , ( F ` a ) >. .xb w )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ a e. V ) ) -> E* w <. p , ( F ` a ) >. .xb w )
91	90	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( ph -> A. p e. K A. a e. V E* w <. p , ( F ` a ) >. .xb w )
92		fofn 6117	. . . . . . . 8 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
93		opeq2 4403	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` a ) -> <. p , y >. = <. p , ( F ` a ) >. )
94	93	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` a ) -> ( <. p , y >. .xb w <-> <. p , ( F ` a ) >. .xb w ) )
95	94	mobidv 2491	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` a ) -> ( E* w <. p , y >. .xb w <-> E* w <. p , ( F ` a ) >. .xb w ) )
96	95	ralrn 6362	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( A. y e. ran F E* w <. p , y >. .xb w <-> A. a e. V E* w <. p , ( F ` a ) >. .xb w ) )
97	11, 92, 96	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. ran F E* w <. p , y >. .xb w <-> A. a e. V E* w <. p , ( F ` a ) >. .xb w ) )
98	97	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. p e. K A. y e. ran F E* w <. p , y >. .xb w <-> A. p e. K A. a e. V E* w <. p , ( F ` a ) >. .xb w ) )
99	91, 98	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> A. p e. K A. y e. ran F E* w <. p , y >. .xb w )
100		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = <. p , y >. -> ( x .xb w <-> <. p , y >. .xb w ) )
101	100	mobidv 2491	. . . . . 6 |- ( x = <. p , y >. -> ( E* w x .xb w <-> E* w <. p , y >. .xb w ) )
102	101	ralxp 5263	. . . . 5 |- ( A. x e. ( K X. ran F ) E* w x .xb w <-> A. p e. K A. y e. ran F E* w <. p , y >. .xb w )
103	99, 102	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( K X. ran F ) E* w x .xb w )
104		ssralv 3666	. . . 4 |- ( dom .xb C_ ( K X. ran F ) -> ( A. x e. ( K X. ran F ) E* w x .xb w -> A. x e. dom .xb E* w x .xb w ) )
105	45, 103, 104	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> A. x e. dom .xb E* w x .xb w )
106		dffun7 5915	. . 3 |- ( Fun .xb <-> ( Rel .xb /\ A. x e. dom .xb E* w x .xb w ) )
107	19, 105, 106	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> Fun .xb )
108		eqimss2 3658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .xb = U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ .xb )
109	17, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ .xb )
110		iunss 4561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ .xb <-> A. q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ .xb )
111	109, 110	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. q e. V ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ .xb )
112	111	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. V ) -> ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ .xb )
113	112	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ q e. V ) ) -> ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ .xb )
114		dmss 5323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ .xb -> dom ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ dom .xb )
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ q e. V ) ) -> dom ( p e. K , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p .x. q ) ) ) C_ dom .xb )
116	58, 115	syl5eqssr 3650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ q e. V ) ) -> ( K X. { ( F ` q ) } ) C_ dom .xb )
117		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ q e. V ) ) -> p e. K )
118		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ` q ) e. _V
119	118	snid 4208	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` q ) e. { ( F ` q ) }
120		opelxpi 5148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. K /\ ( F ` q ) e. { ( F ` q ) } ) -> <. p , ( F ` q ) >. e. ( K X. { ( F ` q ) } ) )
121	117, 119, 120	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ q e. V ) ) -> <. p , ( F ` q ) >. e. ( K X. { ( F ` q ) } ) )
122	116, 121	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( p e. K /\ q e. V ) ) -> <. p , ( F ` q ) >. e. dom .xb )
123	122	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. p e. K A. q e. V <. p , ( F ` q ) >. e. dom .xb )
124		opeq2 4403	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` q ) -> <. p , y >. = <. p , ( F ` q ) >. )
125	124	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` q ) -> ( <. p , y >. e. dom .xb <-> <. p , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
126	125	ralrn 6362	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( A. y e. ran F <. p , y >. e. dom .xb <-> A. q e. V <. p , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
127	11, 92, 126	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. y e. ran F <. p , y >. e. dom .xb <-> A. q e. V <. p , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
128	127	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. p e. K A. y e. ran F <. p , y >. e. dom .xb <-> A. p e. K A. q e. V <. p , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
129	123, 128	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> A. p e. K A. y e. ran F <. p , y >. e. dom .xb )
130		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( x = <. p , y >. -> ( x e. dom .xb <-> <. p , y >. e. dom .xb ) )
131	130	ralxp 5263	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( K X. ran F ) x e. dom .xb <-> A. p e. K A. y e. ran F <. p , y >. e. dom .xb )
132	129, 131	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( K X. ran F ) x e. dom .xb )
133		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( ( K X. ran F ) C_ dom .xb <-> A. x e. ( K X. ran F ) x e. dom .xb )
134	132, 133	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ( K X. ran F ) C_ dom .xb )
135	44, 134	eqsstr3d 3640	. . 3 |- ( ph -> ( K X. B ) C_ dom .xb )
136	41, 135	eqssd 3620	. 2 |- ( ph -> dom .xb = ( K X. B ) )
137		df-fn 5891	. 2 |- ( .xb Fn ( K X. B ) <-> ( Fun .xb /\ dom .xb = ( K X. B ) ) )
138	107, 136, 137	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> .xb Fn ( K X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   "_s cimas 16164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-imas 16168

This theorem is referenced by:  imasvscaval  16198  imasvscaf  16199