Theorem isnumbasgrplem3 37675

Description: Every nonempty numerable set can be given the structure of an Abelian group, either a finite cyclic group or a vector space over Z/2Z. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumbasgrplem3	|- ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) -> S e. ( Base " Abel ) )

Proof of Theorem isnumbasgrplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 13147	. . . . . 6 |- ( S e. Fin -> ( # ` S ) e. NN0 )
2	1	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( S =/= (/) /\ S e. Fin ) -> ( # ` S ) e. NN0 )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) = (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) )
4	3	zncrng 19893	. . . . 5 |- ( ( # ` S ) e. NN0 -> (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) e. CRing )
5		crngring 18558	. . . . 5 |- ( (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) e. CRing -> (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) e. Ring )
6		ringabl 18580	. . . . 5 |- ( (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) e. Ring -> (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) e. Abel )
7	2, 4, 5, 6	4syl 19	. . . 4 |- ( ( S =/= (/) /\ S e. Fin ) -> (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) e. Abel )
8		hashnncl 13157	. . . . . . . 8 |- ( S e. Fin -> ( ( # ` S ) e. NN <-> S =/= (/) ) )
9	8	biimparc 504	. . . . . . 7 |- ( ( S =/= (/) /\ S e. Fin ) -> ( # ` S ) e. NN )
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) = ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) )
11	3, 10	znhash 19907	. . . . . . 7 |- ( ( # ` S ) e. NN -> ( # ` ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) ) = ( # ` S ) )
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( S =/= (/) /\ S e. Fin ) -> ( # ` ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) ) = ( # ` S ) )
13	12	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( S =/= (/) /\ S e. Fin ) -> ( # ` S ) = ( # ` ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) ) )
14		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( S =/= (/) /\ S e. Fin ) -> S e. Fin )
15	3, 10	znfi 19908	. . . . . . 7 |- ( ( # ` S ) e. NN -> ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) e. Fin )
16	9, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( S =/= (/) /\ S e. Fin ) -> ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) e. Fin )
17		hashen 13135	. . . . . 6 |- ( ( S e. Fin /\ ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` S ) = ( # ` ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) ) <-> S ~~ ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) ) )
18	14, 16, 17	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( S =/= (/) /\ S e. Fin ) -> ( ( # ` S ) = ( # ` ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) ) <-> S ~~ ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) ) )
19	13, 18	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( S =/= (/) /\ S e. Fin ) -> S ~~ ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) )
20	10	isnumbasgrplem1 37671	. . . 4 |- ( ( (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) e. Abel /\ S ~~ ( Base ` (ℤ/nℤ ` ( # ` S ) ) ) ) -> S e. ( Base " Abel ) )
21	7, 19, 20	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( S =/= (/) /\ S e. Fin ) -> S e. ( Base " Abel ) )
22	21	adantll 750	. 2 |- ( ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) /\ S e. Fin ) -> S e. ( Base " Abel ) )
23		2nn0 11309	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
24		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (ℤ/nℤ ` 2 ) = (ℤ/nℤ ` 2 )
25	24	zncrng 19893	. . . . . . 7 |- ( 2 e. NN0 -> (ℤ/nℤ ` 2 ) e. CRing )
26		crngring 18558	. . . . . . 7 |- ( (ℤ/nℤ ` 2 ) e. CRing -> (ℤ/nℤ ` 2 ) e. Ring )
27	23, 25, 26	mp2b 10	. . . . . 6 |- (ℤ/nℤ ` 2 ) e. Ring
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) = ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S )
29	28	frlmlmod 20093	. . . . . 6 |- ( ( (ℤ/nℤ ` 2 ) e. Ring /\ S e. dom card ) -> ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) e. LMod )
30	27, 29	mpan 706	. . . . 5 |- ( S e. dom card -> ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) e. LMod )
31		lmodabl 18910	. . . . 5 |- ( ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) e. LMod -> ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) e. Abel )
32	30, 31	syl 17	. . . 4 |- ( S e. dom card -> ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) e. Abel )
33	32	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) /\ -. S e. Fin ) -> ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) e. Abel )
34		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) ) = ( Base ` ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) )
35	24, 28, 34	frlmpwfi 37668	. . . . . 6 |- ( S e. dom card -> ( Base ` ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) ) ~~ ( ~P S i^i Fin ) )
36	35	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) /\ -. S e. Fin ) -> ( Base ` ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) ) ~~ ( ~P S i^i Fin ) )
37		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) /\ -. S e. Fin ) -> S e. dom card )
38		numinfctb 37673	. . . . . . 7 |- ( ( S e. dom card /\ -. S e. Fin ) -> om ~<_ S )
39	38	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) /\ -. S e. Fin ) -> om ~<_ S )
40		infpwfien 8885	. . . . . 6 |- ( ( S e. dom card /\ om ~<_ S ) -> ( ~P S i^i Fin ) ~~ S )
41	37, 39, 40	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) /\ -. S e. Fin ) -> ( ~P S i^i Fin ) ~~ S )
42		entr 8008	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) ) ~~ ( ~P S i^i Fin ) /\ ( ~P S i^i Fin ) ~~ S ) -> ( Base ` ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) ) ~~ S )
43	36, 41, 42	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) /\ -. S e. Fin ) -> ( Base ` ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) ) ~~ S )
44	43	ensymd 8007	. . 3 |- ( ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) /\ -. S e. Fin ) -> S ~~ ( Base ` ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) ) )
45	34	isnumbasgrplem1 37671	. . 3 |- ( ( ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) e. Abel /\ S ~~ ( Base ` ( (ℤ/nℤ ` 2 ) freeLMod S ) ) ) -> S e. ( Base " Abel ) )
46	33, 44, 45	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) /\ -. S e. Fin ) -> S e. ( Base " Abel ) )
47	22, 46	pm2.61dan 832	1 |- ( ( S e. dom card /\ S =/= (/) ) -> S e. ( Base " Abel ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   cardccrd 8761   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   #chash 13117   Basecbs 15857   Abelcabl 18194   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  ℤ/nℤczn 19851   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-hash 13118  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-gic 17702  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  isnumbasabl  37676  dfacbasgrp  37678