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Theorem infxpenc2lem1 8842
Description: Lemma for infxpenc2 8845. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
infxpenc2.1 |- ( ph -> A e. On )
infxpenc2.2 |- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
infxpenc2.3 |- W = ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) )
Assertion
Ref Expression
infxpenc2lem1 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
Distinct variable groups:   n, b, w, x, A   ph, b, w, x   w, W, x
Allowed substitution hints:   ph( n)   W( n, b)
Proof of Theorem infxpenc2lem1
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxpenc2.2 . . . 4 |- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
21r19.21bi 2932 . . 3 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
32impr 649 . 2 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
4 simpr 477 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
5 infxpenc2.3 . . . . . 6 |- W = ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) )
6 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( om ^o x ) = ( om ^o w ) )
7 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) = ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) )
8 ovex 6678 . . . . . . . . . 10 |- ( om ^o w ) e. _V
96, 7, 8fvmpt 6282 . . . . . . . . 9 |- ( w e. ( On \ 1o ) -> ( ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` w ) = ( om ^o w ) )
109ad2antrl 764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` w ) = ( om ^o w ) )
11 f1ofo 6144 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) -> ( n ` b ) : b -onto-> ( om ^o w ) )
1211ad2antll 765 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( n ` b ) : b -onto-> ( om ^o w ) )
13 forn 6118 . . . . . . . . 9 |- ( ( n ` b ) : b -onto-> ( om ^o w ) -> ran ( n ` b ) = ( om ^o w ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ran ( n ` b ) = ( om ^o w ) )
1510, 14eqtr4d 2659 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` w ) = ran ( n ` b ) )
16 ovex 6678 . . . . . . . . . . 11 |- ( om ^o x ) e. _V
17162a1i 12 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( x e. ( On \ 1o ) -> ( om ^o x ) e. _V ) )
18 omelon 8543 . . . . . . . . . . . . . 14 |- om e. On
19 1onn 7719 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
20 ondif2 7582 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( om e. ( On \ 2o ) <-> ( om e. On /\ 1o e. om ) )
2118, 19, 20mpbir2an 955 . . . . . . . . . . . . 13 |- om e. ( On \ 2o )
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) /\ ( x e. ( On \ 1o ) /\ y e. ( On \ 1o ) ) ) -> om e. ( On \ 2o ) )
23 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( On \ 1o ) -> x e. On )
2423ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) /\ ( x e. ( On \ 1o ) /\ y e. ( On \ 1o ) ) ) -> x e. On )
25 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( On \ 1o ) -> y e. On )
2625ad2antll 765 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) /\ ( x e. ( On \ 1o ) /\ y e. ( On \ 1o ) ) ) -> y e. On )
27 oecan 7669 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( om e. ( On \ 2o ) /\ x e. On /\ y e. On ) -> ( ( om ^o x ) = ( om ^o y ) <-> x = y ) )
2822, 24, 26, 27syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) /\ ( x e. ( On \ 1o ) /\ y e. ( On \ 1o ) ) ) -> ( ( om ^o x ) = ( om ^o y ) <-> x = y ) )
2928ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( ( x e. ( On \ 1o ) /\ y e. ( On \ 1o ) ) -> ( ( om ^o x ) = ( om ^o y ) <-> x = y ) ) )
3017, 29dom2lem 7995 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) : ( On \ 1o ) -1-1-> _V )
31 f1f1orn 6148 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) : ( On \ 1o ) -1-1-> _V -> ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) : ( On \ 1o ) -1-1-onto-> ran ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) : ( On \ 1o ) -1-1-onto-> ran ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) )
33 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> w e. ( On \ 1o ) )
34 f1ocnvfv 6534 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) : ( On \ 1o ) -1-1-onto-> ran ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) /\ w e. ( On \ 1o ) ) -> ( ( ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` w ) = ran ( n ` b ) -> ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) ) = w ) )
3532, 33, 34syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( ( ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` w ) = ran ( n ` b ) -> ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) ) = w ) )
3615, 35mpd 15 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) ) = w )
375, 36syl5eq 2668 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> W = w )
3837eleq1d 2686 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( W e. ( On \ 1o ) <-> w e. ( On \ 1o ) ) )
3937oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( om ^o W ) = ( om ^o w ) )
40 f1oeq3 6129 . . . . 5 |- ( ( om ^o W ) = ( om ^o w ) -> ( ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
4139, 40syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
4238, 41anbi12d 747 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) <-> ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
434, 42mpbird 247 . 2 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) /\ ( w e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) -> ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
443, 43rexlimddv 3035 1 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   Oncon0 5723   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ^o coe 7559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566
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