Theorem infxpenc2lem2 8843

Description: Lemma for infxpenc2 8845. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxpenc2.1	|- ( ph -> A e. On )
infxpenc2.2	|- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
infxpenc2.3	|- W = ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) )
infxpenc2.4	|- ( ph -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
infxpenc2.5	|- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
infxpenc2.k	|- K = ( y e. { x e. ( ( om ^o 2o ) ^m W ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' ( _I |` W ) ) ) )
infxpenc2.h	|- H = ( ( ( om CNF W ) o. K ) o. `' ( ( om ^o 2o ) CNF W ) )
infxpenc2.l	|- L = ( y e. { x e. ( om ^m ( W .o 2o ) ) | x finSupp (/) } |-> ( ( _I |` om ) o. ( y o. `' ( Y o. `' X ) ) ) )
infxpenc2.x	|- X = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( W .o z ) +o w ) )
infxpenc2.y	|- Y = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( 2o .o w ) +o z ) )
infxpenc2.j	|- J = ( ( ( om CNF ( 2o .o W ) ) o. L ) o. `' ( om CNF ( W .o 2o ) ) )
infxpenc2.z	|- Z = ( x e. ( om ^o W ) , y e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o x ) +o y ) )
infxpenc2.t	|- T = ( x e. b , y e. b |-> <. ( ( n ` b ) ` x ) , ( ( n ` b ) ` y ) >. )
infxpenc2.g	|- G = ( `' ( n ` b ) o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) )

Assertion

Ref	Expression
infxpenc2lem2	|- ( ph -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )

Distinct variable groups:   g, b, n, w, x, y, A   ph, b, w, x, y   z, g, W, w, x, y   g, F, x, y   g, G   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( z, g, n)   A( z)   T( x, y, z, w, g, n, b)   F( z, w, n, b)   G( x, y, z, w, n, b)   H( x, y, z, w, g, n, b)   J( x, y, z, w, g, n, b)   K( x, y, z, w, g, n, b)   L( x, y, z, w, g, n, b)   W( n, b)   X( z, w, g, n, b)   Y( z, w, g, n, b)   Z( x, y, z, w, g, n, b)

Proof of Theorem infxpenc2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxpenc2.1	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
2		mptexg 6484	. . 3 |- ( A e. On -> ( b e. A |-> G ) e. _V )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( b e. A |-> G ) e. _V )
4	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> A e. On )
5		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> b e. A )
6		onelon 5748	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A ) -> b e. On )
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> b e. On )
8		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> om C_ b )
9		infxpenc2.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
10		infxpenc2.3	. . . . . . . 8 |- W = ( `' ( x e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o x ) ) ` ran ( n ` b ) )
11	1, 9, 10	infxpenc2lem1 8842	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
12	11	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> W e. ( On \ 1o ) )
13		infxpenc2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
14	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> F : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
15		infxpenc2.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
16	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( F ` (/) ) = (/) )
17	11	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
18		infxpenc2.k	. . . . . 6 |- K = ( y e. { x e. ( ( om ^o 2o ) ^m W ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' ( _I |` W ) ) ) )
19		infxpenc2.h	. . . . . 6 |- H = ( ( ( om CNF W ) o. K ) o. `' ( ( om ^o 2o ) CNF W ) )
20		infxpenc2.l	. . . . . 6 |- L = ( y e. { x e. ( om ^m ( W .o 2o ) ) | x finSupp (/) } |-> ( ( _I |` om ) o. ( y o. `' ( Y o. `' X ) ) ) )
21		infxpenc2.x	. . . . . 6 |- X = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( W .o z ) +o w ) )
22		infxpenc2.y	. . . . . 6 |- Y = ( z e. 2o , w e. W |-> ( ( 2o .o w ) +o z ) )
23		infxpenc2.j	. . . . . 6 |- J = ( ( ( om CNF ( 2o .o W ) ) o. L ) o. `' ( om CNF ( W .o 2o ) ) )
24		infxpenc2.z	. . . . . 6 |- Z = ( x e. ( om ^o W ) , y e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o x ) +o y ) )
25		infxpenc2.t	. . . . . 6 |- T = ( x e. b , y e. b |-> <. ( ( n ` b ) ` x ) , ( ( n ` b ) ` y ) >. )
26		infxpenc2.g	. . . . . 6 |- G = ( `' ( n ` b ) o. ( ( ( H o. J ) o. Z ) o. T ) )
27	7, 8, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	infxpenc 8841	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b )
28		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b -> G : ( b X. b ) --> b )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> G : ( b X. b ) --> b )
30		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
31	30, 30	xpex 6962	. . . . . . . 8 |- ( b X. b ) e. _V
32		fex 6490	. . . . . . . 8 |- ( ( G : ( b X. b ) --> b /\ ( b X. b ) e. _V ) -> G e. _V )
33	29, 31, 32	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> G e. _V )
34		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( b e. A |-> G ) = ( b e. A |-> G )
35	34	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( b e. A /\ G e. _V ) -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) = G )
36	5, 33, 35	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) = G )
37		f1oeq1 6127	. . . . . 6 |- ( ( ( b e. A |-> G ) ` b ) = G -> ( ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> G : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
39	27, 38	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ om C_ b ) ) -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b )
40	39	expr 643	. . 3 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
41	40	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. b e. A ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
42		nfmpt1 4747	. . . . 5 |- F/_ b ( b e. A |-> G )
43	42	nfeq2 2780	. . . 4 |- F/ b g = ( b e. A |-> G )
44		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( g ` b ) = ( ( b e. A |-> G ) ` b ) )
45		f1oeq1 6127	. . . . . 6 |- ( ( g ` b ) = ( ( b e. A |-> G ) ` b ) -> ( ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . 5 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
47	46	imbi2d 330	. . . 4 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) <-> ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
48	43, 47	ralbid 2983	. . 3 |- ( g = ( b e. A |-> G ) -> ( A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) <-> A. b e. A ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
49	48	spcegv 3294	. 2 |- ( ( b e. A |-> G ) e. _V -> ( A. b e. A ( om C_ b -> ( ( b e. A |-> G ) ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
50	3, 41, 49	sylc 65	1 |- ( ph -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Oncon0 5723   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  infxpenc2lem3  8844