Theorem irinitoringc 42069

Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
irinitoringc.u	|- ( ph -> U e. V )
irinitoringc.z	|- ( ph -> ℤring e. U )
irinitoringc.c	|- C = (RingCat ` U )

Assertion

Ref	Expression
irinitoringc	|- ( ph -> ℤring e. (InitO ` C ) )

Proof of Theorem irinitoringc

Dummy variables f r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 11386	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
2	1	mptex 6486	. . . . 5 |- ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) e. _V
3		irinitoringc.c	. . . . . . . . 9 |- C = (RingCat ` U )
4		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
5		irinitoringc.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. V )
6		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
7	3, 4, 5, 6	ringchomfval 42012	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Hom ` C ) = ( RingHom |` ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` C ) ) -> ( Hom ` C ) = ( RingHom |` ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) )
9	8	oveqd 6667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` C ) ) -> (ℤring ( Hom ` C ) r ) = (ℤring ( RingHom |` ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) r ) )
10		irinitoringc.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ℤring e. U )
11		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- (ℤring e. U -> ℤring e. U )
12		zringring 19821	. . . . . . . . . . . 12 |- ℤring e. Ring
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- (ℤring e. U -> ℤring e. Ring )
14	11, 13	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- (ℤring e. U -> ℤring e. ( U i^i Ring ) )
15	10, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ℤring e. ( U i^i Ring ) )
16	3, 4, 5	ringcbas 42011	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` C ) = ( U i^i Ring ) )
17	15, 16	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ℤring e. ( Base ` C ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` C ) ) -> ℤring e. ( Base ` C ) )
19		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` C ) ) -> r e. ( Base ` C ) )
20	18, 19	ovresd 6801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` C ) ) -> (ℤring ( RingHom |` ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) r ) = (ℤring RingHom r ) )
21	16	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( r e. ( Base ` C ) <-> r e. ( U i^i Ring ) ) )
22		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. ( U i^i Ring ) <-> ( r e. U /\ r e. Ring ) )
23	22	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( U i^i Ring ) -> r e. Ring )
24	21, 23	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( r e. ( Base ` C ) -> r e. Ring ) )
25	24	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` C ) ) -> r e. Ring )
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (.g ` r ) = (.g ` r )
27		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) = ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` r ) = ( 1r ` r )
29	26, 27, 28	mulgrhm2 19847	. . . . . . 7 |- ( r e. Ring -> (ℤring RingHom r ) = { ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) } )
30	25, 29	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` C ) ) -> (ℤring RingHom r ) = { ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) } )
31	9, 20, 30	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` C ) ) -> (ℤring ( Hom ` C ) r ) = { ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) } )
32		sneq 4187	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) -> { f } = { ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) } )
33	32	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( f = ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) -> ( (ℤring ( Hom ` C ) r ) = { f } <-> (ℤring ( Hom ` C ) r ) = { ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) } ) )
34	33	spcegv 3294	. . . . 5 |- ( ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) e. _V -> ( (ℤring ( Hom ` C ) r ) = { ( z e. ZZ |-> ( z (.g ` r ) ( 1r ` r ) ) ) } -> E. f (ℤring ( Hom ` C ) r ) = { f } ) )
35	2, 31, 34	mpsyl 68	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` C ) ) -> E. f (ℤring ( Hom ` C ) r ) = { f } )
36		eusn 4265	. . . 4 |- ( E! f f e. (ℤring ( Hom ` C ) r ) <-> E. f (ℤring ( Hom ` C ) r ) = { f } )
37	35, 36	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` C ) ) -> E! f f e. (ℤring ( Hom ` C ) r ) )
38	37	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. r e. ( Base ` C ) E! f f e. (ℤring ( Hom ` C ) r ) )
39	3	ringccat 42024	. . . 4 |- ( U e. V -> C e. Cat )
40	5, 39	syl 17	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
41	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ℤring e. Ring )
42	10, 41	elind 3798	. . . 4 |- ( ph -> ℤring e. ( U i^i Ring ) )
43	42, 16	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ph -> ℤring e. ( Base ` C ) )
44	4, 6, 40, 43	isinito 16650	. 2 |- ( ph -> (ℤring e. (InitO ` C ) <-> A. r e. ( Base ` C ) E! f f e. (ℤring ( Hom ` C ) r ) ) )
45	38, 44	mpbird 247	1 |- ( ph -> ℤring e. (InitO ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ZZcz 11377   Basecbs 15857   Hom chom 15952   Catccat 16325  InitOcinito 16638  ._gcmg 17540   1rcur 18501   Ringcrg 18547   RingHom crh 18712  ℤ_ringzring 19818  RingCatcringc 42003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-cat 16329  df-cid 16330  df-homf 16331  df-ssc 16470  df-resc 16471  df-subc 16472  df-inito 16641  df-estrc 16763  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-ringc 42005

This theorem is referenced by:  nzerooringczr  42072