Theorem prdsbnd 33592

Description: The product metric over finite index set is bounded if all the factors are bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbnd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsbnd.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbnd.v	|- V = ( Base ` ( R ` x ) )
prdsbnd.e	|- E = ( ( dist ` ( R ` x ) ) |` ( V X. V ) )
prdsbnd.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsbnd.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsbnd.i	|- ( ph -> I e. Fin )
prdsbnd.r	|- ( ph -> R Fn I )
prdsbnd.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( Bnd ` V ) )

Assertion

Ref	Expression
prdsbnd	|- ( ph -> D e. ( Bnd ` B ) )

Distinct variable groups:   x, R   x, B   ph, x   x, I   x, S   x, Y

Allowed substitution hints:   D( x)   E( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem prdsbnd

Dummy variables z f g k m w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) = ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) )
3		prdsbnd.v	. . . 4 |- V = ( Base ` ( R ` x ) )
4		prdsbnd.e	. . . 4 |- E = ( ( dist ` ( R ` x ) ) |` ( V X. V ) )
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) = ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) )
6		prdsbnd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. W )
7		prdsbnd.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
8		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( R ` x ) e. _V )
9		prdsbnd.m	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( Bnd ` V ) )
10		bndmet 33580	. . . . 5 |- ( E e. ( Bnd ` V ) -> E e. ( Met ` V ) )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( Met ` V ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsmet 22175	. . 3 |- ( ph -> ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) e. ( Met ` ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) ) )
13		prdsbnd.d	. . . 4 |- D = ( dist ` Y )
14		prdsbnd.y	. . . . . 6 |- Y = ( S X_s R )
15		prdsbnd.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R Fn I )
16		dffn5 6241	. . . . . . . 8 |- ( R Fn I <-> R = ( x e. I |-> ( R ` x ) ) )
17	15, 16	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> R = ( x e. I |-> ( R ` x ) ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S X_s R ) = ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) )
19	14, 18	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> Y = ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( dist ` Y ) = ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
21	13, 20	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> D = ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
22		prdsbnd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
23	19	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
24	22, 23	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
25	24	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( Met ` B ) = ( Met ` ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) ) )
26	12, 21, 25	3eltr4d 2716	. 2 |- ( ph -> D e. ( Met ` B ) )
27		isbnd3 33583	. . . . . . 7 |- ( E e. ( Bnd ` V ) <-> ( E e. ( Met ` V ) /\ E. w e. RR E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] w ) ) )
28	27	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( E e. ( Bnd ` V ) -> E. w e. RR E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] w ) )
29	9, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E. w e. RR E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] w ) )
30	29	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. I E. w e. RR E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] w ) )
31		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( w = ( k ` x ) -> ( 0 [,] w ) = ( 0 [,] ( k ` x ) ) )
32	31	feq3d 6032	. . . . 5 |- ( w = ( k ` x ) -> ( E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] w ) <-> E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) )
33	32	ac6sfi 8204	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ A. x e. I E. w e. RR E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] w ) ) -> E. k ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) )
34	7, 30, 33	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> E. k ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) )
35		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( k : I --> RR -> ran k C_ RR )
36	35	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k : I --> RR ) -> ran k C_ RR )
37		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
38	37	snssd 4340	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { 0 } C_ RR )
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k : I --> RR ) -> { 0 } C_ RR )
40	36, 39	unssd 3789	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k : I --> RR ) -> ( ran k u. { 0 } ) C_ RR )
41		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( k : I --> RR -> k Fn I )
42		dffn4 6121	. . . . . . . . . 10 |- ( k Fn I <-> k : I -onto-> ran k )
43	41, 42	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( k : I --> RR -> k : I -onto-> ran k )
44		fofi 8252	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. Fin /\ k : I -onto-> ran k ) -> ran k e. Fin )
45	7, 43, 44	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k : I --> RR ) -> ran k e. Fin )
46		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { 0 } e. Fin
47		unfi 8227	. . . . . . . 8 |- ( ( ran k e. Fin /\ { 0 } e. Fin ) -> ( ran k u. { 0 } ) e. Fin )
48	45, 46, 47	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k : I --> RR ) -> ( ran k u. { 0 } ) e. Fin )
49		ssun2 3777	. . . . . . . . 9 |- { 0 } C_ ( ran k u. { 0 } )
50		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
51	50	snid 4208	. . . . . . . . 9 |- 0 e. { 0 }
52	49, 51	sselii 3600	. . . . . . . 8 |- 0 e. ( ran k u. { 0 } )
53		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( ran k u. { 0 } ) -> ( ran k u. { 0 } ) =/= (/) )
54	52, 53	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k : I --> RR ) -> ( ran k u. { 0 } ) =/= (/) )
55		ltso 10118	. . . . . . . 8 |- < Or RR
56		fisupcl 8375	. . . . . . . 8 |- ( ( < Or RR /\ ( ( ran k u. { 0 } ) e. Fin /\ ( ran k u. { 0 } ) =/= (/) /\ ( ran k u. { 0 } ) C_ RR ) ) -> sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. ( ran k u. { 0 } ) )
57	55, 56	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( ( ( ran k u. { 0 } ) e. Fin /\ ( ran k u. { 0 } ) =/= (/) /\ ( ran k u. { 0 } ) C_ RR ) -> sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. ( ran k u. { 0 } ) )
58	48, 54, 40, 57	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k : I --> RR ) -> sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. ( ran k u. { 0 } ) )
59	40, 58	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k : I --> RR ) -> sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. RR )
60	59	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. RR )
61		metf 22135	. . . . . . 7 |- ( D e. ( Met ` B ) -> D : ( B X. B ) --> RR )
62		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( D : ( B X. B ) --> RR -> D Fn ( B X. B ) )
63	26, 61, 62	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> D Fn ( B X. B ) )
64	63	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> D Fn ( B X. B ) )
65	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> D e. ( Met ` B ) )
66		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. B )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> f e. B )
68		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. B )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> g e. B )
70		metcl 22137	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( Met ` B ) /\ f e. B /\ g e. B ) -> ( f D g ) e. RR )
71	65, 67, 69, 70	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( f D g ) e. RR )
72		metge0 22150	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( Met ` B ) /\ f e. B /\ g e. B ) -> 0 <_ ( f D g ) )
73	65, 67, 69, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> 0 <_ ( f D g ) )
74	21	oveqdr 6674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) = ( f ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) g ) )
75	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> S e. W )
76	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> I e. Fin )
77		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( R ` x ) e. _V )
78	77	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( R ` x ) e. _V )
79	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> B = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
80	66, 79	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
81	68, 79	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) )
82	1, 2, 75, 76, 78, 80, 81, 3, 4, 5	prdsdsval3 16145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> ( R ` x ) ) ) ) g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
83	74, 82	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
85	11	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( Met ` V ) )
86	1, 2, 75, 76, 78, 3, 80	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
87	86	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
88	1, 2, 75, 76, 78, 3, 81	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
89	88	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( g ` x ) e. V )
90		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E e. ( Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
91	85, 87, 89, 90	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
92	91	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
93		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k : I --> RR /\ x e. I ) -> ( k ` x ) e. RR )
94	93	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( k ` x ) e. RR )
95	59	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) -> sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. RR )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. RR )
97		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) )
98	87	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( f ` x ) e. V )
99	89	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( g ` x ) e. V )
100	97, 98, 99	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( 0 [,] ( k ` x ) ) )
101		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
102		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ ( k ` x ) e. RR ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( 0 [,] ( k ` x ) ) <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( k ` x ) ) ) )
103	101, 94, 102	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( 0 [,] ( k ` x ) ) <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( k ` x ) ) ) )
104	100, 103	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( k ` x ) ) )
105	104	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( k ` x ) )
106	40	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) -> ( ran k u. { 0 } ) C_ RR )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ran k u. { 0 } ) C_ RR )
108	52, 53	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ran k u. { 0 } ) =/= (/) )
109		fimaxre2 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ran k u. { 0 } ) C_ RR /\ ( ran k u. { 0 } ) e. Fin ) -> E. z e. RR A. w e. ( ran k u. { 0 } ) w <_ z )
110	40, 48, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k : I --> RR ) -> E. z e. RR A. w e. ( ran k u. { 0 } ) w <_ z )
111	110	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) -> E. z e. RR A. w e. ( ran k u. { 0 } ) w <_ z )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> E. z e. RR A. w e. ( ran k u. { 0 } ) w <_ z )
113		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran k C_ ( ran k u. { 0 } )
114	41	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> k Fn I )
115		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> x e. I )
116		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k Fn I /\ x e. I ) -> ( k ` x ) e. ran k )
117	114, 115, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( k ` x ) e. ran k )
118	113, 117	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( k ` x ) e. ( ran k u. { 0 } ) )
119		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ran k u. { 0 } ) C_ RR /\ ( ran k u. { 0 } ) =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. ( ran k u. { 0 } ) w <_ z ) /\ ( k ` x ) e. ( ran k u. { 0 } ) ) -> ( k ` x ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
120	107, 108, 112, 118, 119	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( k ` x ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
121	92, 94, 96, 105, 120	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ ( x e. I /\ E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
122	121	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) /\ x e. I ) -> ( E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
123	122	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ k : I --> RR ) -> ( A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
124	123	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
125		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
126	125	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
127		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
128		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) -> ( w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) <-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
129	127, 128	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
130	126, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. w e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
131	124, 130	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> A. w e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
132	40	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ran k u. { 0 } ) C_ RR )
133	52, 53	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ran k u. { 0 } ) =/= (/) )
134	110	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> E. z e. RR A. w e. ( ran k u. { 0 } ) w <_ z )
135	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> 0 e. ( ran k u. { 0 } ) )
136		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ran k u. { 0 } ) C_ RR /\ ( ran k u. { 0 } ) =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. ( ran k u. { 0 } ) w <_ z ) /\ 0 e. ( ran k u. { 0 } ) ) -> 0 <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
137	132, 133, 134, 135, 136	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> 0 <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
138		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { 0 } -> w = 0 )
139	138	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. { 0 } -> ( w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) <-> 0 <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
140	137, 139	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( w e. { 0 } -> w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
141	140	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> A. w e. { 0 } w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
142		ralunb 3794	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) <-> ( A. w e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) /\ A. w e. { 0 } w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
143	131, 141, 142	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> A. w e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
144	91, 127	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR )
145		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR )
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR )
147		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 e. RR )
148	147	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> { 0 } C_ RR )
149	146, 148	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR )
150		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ RR*
151	149, 150	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
153	60	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. RR )
154	153	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. RR* )
155		supxrleub 12156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. RR* ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) <-> A. w e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
156	152, 154, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) <-> A. w e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) w <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
157	143, 156	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
158	84, 157	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( f D g ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) )
159		elicc2 12238	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. RR ) -> ( ( f D g ) e. ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) <-> ( ( f D g ) e. RR /\ 0 <_ ( f D g ) /\ ( f D g ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) ) )
160	101, 153, 159	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( ( f D g ) e. ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) <-> ( ( f D g ) e. RR /\ 0 <_ ( f D g ) /\ ( f D g ) <_ sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) ) )
161	71, 73, 158, 160	mpbir3and 1245	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> ( f D g ) e. ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
162	161	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) e. ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
163	162	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> A. f e. B A. g e. B ( f D g ) e. ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
164		ffnov 6764	. . . . 5 |- ( D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) <-> ( D Fn ( B X. B ) /\ A. f e. B A. g e. B ( f D g ) e. ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) ) )
165	64, 163, 164	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
166		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) -> ( 0 [,] m ) = ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) )
167	166	feq3d 6032	. . . . 5 |- ( m = sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) -> ( D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] m ) <-> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) ) )
168	167	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) e. RR /\ D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] sup ( ( ran k u. { 0 } ) , RR , < ) ) ) -> E. m e. RR D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] m ) )
169	60, 165, 168	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k : I --> RR /\ A. x e. I E : ( V X. V ) --> ( 0 [,] ( k ` x ) ) ) ) -> E. m e. RR D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] m ) )
170	34, 169	exlimddv 1863	. 2 |- ( ph -> E. m e. RR D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] m ) )
171		isbnd3 33583	. 2 |- ( D e. ( Bnd ` B ) <-> ( D e. ( Met ` B ) /\ E. m e. RR D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] m ) ) )
172	26, 170, 171	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> D e. ( Bnd ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178   Basecbs 15857   distcds 15950   X__scprds 16106   Metcme 19732   Bndcbnd 33566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-bnd 33578

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