Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nacsfix Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem nacsfix 37275
Description: An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsfix |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> E. y e. NN0 A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( F ` z ) = ( F ` y ) )
Distinct variable groups:   z, C, y   y, F, z   z, X, y   x, y, z, F
Allowed substitution hints:   C( x)   X( x)
Proof of Theorem nacsfix
Dummy variables a b c w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6217 . . . . 5 |- ( F ` z ) C_ U. ran F
2 simplrr 801 . . . . 5 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( y e. NN0 /\ ( F ` y ) = U. ran F ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` y ) ) -> ( F ` y ) = U. ran F )
31, 2syl5sseqr 3654 . . . 4 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( y e. NN0 /\ ( F ` y ) = U. ran F ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` y ) ) -> ( F ` z ) C_ ( F ` y ) )
4 simpll3 1102 . . . . 5 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( y e. NN0 /\ ( F ` y ) = U. ran F ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` y ) ) -> A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) )
5 simplrl 800 . . . . 5 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( y e. NN0 /\ ( F ` y ) = U. ran F ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` y ) ) -> y e. NN0 )
6 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( y e. NN0 /\ ( F ` y ) = U. ran F ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` y ) ) -> z e. ( ZZ>= ` y ) )
7 incssnn0 37274 . . . . 5 |- ( ( A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) /\ y e. NN0 /\ z e. ( ZZ>= ` y ) ) -> ( F ` y ) C_ ( F ` z ) )
84, 5, 6, 7syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( y e. NN0 /\ ( F ` y ) = U. ran F ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` y ) ) -> ( F ` y ) C_ ( F ` z ) )
93, 8eqssd 3620 . . 3 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( y e. NN0 /\ ( F ` y ) = U. ran F ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` y ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
109ralrimiva 2966 . 2 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( y e. NN0 /\ ( F ` y ) = U. ran F ) ) -> A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( F ` z ) = ( F ` y ) )
11 frn 6053 . . . . . . . 8 |- ( F : NN0 --> C -> ran F C_ C )
12113ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ran F C_ C )
13 elpw2g 4827 . . . . . . . 8 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> ( ran F e. ~P C <-> ran F C_ C ) )
14133ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ran F e. ~P C <-> ran F C_ C ) )
1512, 14mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ran F e. ~P C )
16 elex 3212 . . . . . 6 |- ( ran F e. ~P C -> ran F e. _V )
1715, 16syl 17 . . . . 5 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ran F e. _V )
18 ffn 6045 . . . . . . . 8 |- ( F : NN0 --> C -> F Fn NN0 )
19183ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> F Fn NN0 )
20 0nn0 11307 . . . . . . 7 |- 0 e. NN0
21 fnfvelrn 6356 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. ran F )
2219, 20, 21sylancl 694 . . . . . 6 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( F ` 0 ) e. ran F )
23 ne0i 3921 . . . . . 6 |- ( ( F ` 0 ) e. ran F -> ran F =/= (/) )
2422, 23syl 17 . . . . 5 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ran F =/= (/) )
25 nn0re 11301 . . . . . . . . 9 |- ( a e. NN0 -> a e. RR )
2625ad2antrl 764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> a e. RR )
27 nn0re 11301 . . . . . . . . 9 |- ( b e. NN0 -> b e. RR )
2827ad2antll 765 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> b e. RR )
29 simplrr 801 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ a <_ b ) -> b e. NN0 )
30 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ a <_ b ) -> A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) )
31 simplrl 800 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ a <_ b ) -> a e. NN0 )
32 nn0z 11400 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. NN0 -> a e. ZZ )
33 nn0z 11400 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. NN0 -> b e. ZZ )
34 eluz 11701 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( b e. ( ZZ>= ` a ) <-> a <_ b ) )
3532, 33, 34syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( b e. ( ZZ>= ` a ) <-> a <_ b ) )
3635biimpar 502 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ a <_ b ) -> b e. ( ZZ>= ` a ) )
3736adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ a <_ b ) -> b e. ( ZZ>= ` a ) )
38 incssnn0 37274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) /\ a e. NN0 /\ b e. ( ZZ>= ` a ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` b ) )
3930, 31, 37, 38syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ a <_ b ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` b ) )
40 ssequn1 3783 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` a ) C_ ( F ` b ) <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) = ( F ` b ) )
4139, 40sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ a <_ b ) -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) = ( F ` b ) )
42 eqimss 3657 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` b ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ a <_ b ) -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` b ) )
44 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = b -> ( F ` c ) = ( F ` b ) )
4544sseq2d 3633 . . . . . . . . . 10 |- ( c = b -> ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` b ) ) )
4645rspcev 3309 . . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN0 /\ ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` b ) ) -> E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
4729, 43, 46syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ a <_ b ) -> E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
48 simplrl 800 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ b <_ a ) -> a e. NN0 )
49 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ b <_ a ) -> A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) )
50 simplrr 801 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ b <_ a ) -> b e. NN0 )
51 eluz 11701 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. ZZ /\ a e. ZZ ) -> ( a e. ( ZZ>= ` b ) <-> b <_ a ) )
5233, 32, 51syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a e. ( ZZ>= ` b ) <-> b <_ a ) )
5352biimpar 502 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ b <_ a ) -> a e. ( ZZ>= ` b ) )
5453adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ b <_ a ) -> a e. ( ZZ>= ` b ) )
55 incssnn0 37274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) /\ b e. NN0 /\ a e. ( ZZ>= ` b ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` a ) )
5649, 50, 54, 55syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ b <_ a ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` a ) )
57 ssequn2 3786 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` b ) C_ ( F ` a ) <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) = ( F ` a ) )
5856, 57sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ b <_ a ) -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) = ( F ` a ) )
59 eqimss 3657 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) = ( F ` a ) -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` a ) )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ b <_ a ) -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` a ) )
61 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = a -> ( F ` c ) = ( F ` a ) )
6261sseq2d 3633 . . . . . . . . . 10 |- ( c = a -> ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` a ) ) )
6362rspcev 3309 . . . . . . . . 9 |- ( ( a e. NN0 /\ ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` a ) ) -> E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
6448, 60, 63syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) /\ b <_ a ) -> E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
6526, 28, 47, 64lecasei 10143 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) -> E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
6665ralrimivva 2971 . . . . . 6 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> A. a e. NN0 A. b e. NN0 E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
67 uneq1 3760 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` a ) -> ( y u. z ) = ( ( F ` a ) u. z ) )
6867sseq1d 3632 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` a ) -> ( ( y u. z ) C_ w <-> ( ( F ` a ) u. z ) C_ w ) )
6968rexbidv 3052 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` a ) -> ( E. w e. ran F ( y u. z ) C_ w <-> E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. z ) C_ w ) )
7069ralbidv 2986 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` a ) -> ( A. z e. ran F E. w e. ran F ( y u. z ) C_ w <-> A. z e. ran F E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. z ) C_ w ) )
7170ralrn 6362 . . . . . . . 8 |- ( F Fn NN0 -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F E. w e. ran F ( y u. z ) C_ w <-> A. a e. NN0 A. z e. ran F E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. z ) C_ w ) )
72 uneq2 3761 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) u. z ) = ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) )
7372sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) u. z ) C_ w <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ w ) )
7473rexbidv 3052 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F ` b ) -> ( E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. z ) C_ w <-> E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ w ) )
7574ralrn 6362 . . . . . . . . . 10 |- ( F Fn NN0 -> ( A. z e. ran F E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. z ) C_ w <-> A. b e. NN0 E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ w ) )
76 sseq2 3627 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` c ) -> ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ w <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
7776rexrn 6361 . . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn NN0 -> ( E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ w <-> E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
7877ralbidv 2986 . . . . . . . . . 10 |- ( F Fn NN0 -> ( A. b e. NN0 E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ w <-> A. b e. NN0 E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
7975, 78bitrd 268 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn NN0 -> ( A. z e. ran F E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. z ) C_ w <-> A. b e. NN0 E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
8079ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( F Fn NN0 -> ( A. a e. NN0 A. z e. ran F E. w e. ran F ( ( F ` a ) u. z ) C_ w <-> A. a e. NN0 A. b e. NN0 E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
8171, 80bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( F Fn NN0 -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F E. w e. ran F ( y u. z ) C_ w <-> A. a e. NN0 A. b e. NN0 E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
8219, 81syl 17 . . . . . 6 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F E. w e. ran F ( y u. z ) C_ w <-> A. a e. NN0 A. b e. NN0 E. c e. NN0 ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
8366, 82mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> A. y e. ran F A. z e. ran F E. w e. ran F ( y u. z ) C_ w )
84 isipodrs 17161 . . . . 5 |- ( (toInc ` ran F ) e. Dirset <-> ( ran F e. _V /\ ran F =/= (/) /\ A. y e. ran F A. z e. ran F E. w e. ran F ( y u. z ) C_ w ) )
8517, 24, 83, 84syl3anbrc 1246 . . . 4 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> (toInc ` ran F ) e. Dirset )
86 isnacs3 37273 . . . . . . 7 |- ( C e. (NoeACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. y e. ~P C ( (toInc ` y ) e. Dirset -> U. y e. y ) ) )
8786simprbi 480 . . . . . 6 |- ( C e. (NoeACS ` X ) -> A. y e. ~P C ( (toInc ` y ) e. Dirset -> U. y e. y ) )
88873ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> A. y e. ~P C ( (toInc ` y ) e. Dirset -> U. y e. y ) )
89 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( y = ran F -> (toInc ` y ) = (toInc ` ran F ) )
9089eleq1d 2686 . . . . . . 7 |- ( y = ran F -> ( (toInc ` y ) e. Dirset <-> (toInc ` ran F ) e. Dirset ) )
91 unieq 4444 . . . . . . . 8 |- ( y = ran F -> U. y = U. ran F )
92 id 22 . . . . . . . 8 |- ( y = ran F -> y = ran F )
9391, 92eleq12d 2695 . . . . . . 7 |- ( y = ran F -> ( U. y e. y <-> U. ran F e. ran F ) )
9490, 93imbi12d 334 . . . . . 6 |- ( y = ran F -> ( ( (toInc ` y ) e. Dirset -> U. y e. y ) <-> ( (toInc ` ran F ) e. Dirset -> U. ran F e. ran F ) ) )
9594rspcva 3307 . . . . 5 |- ( ( ran F e. ~P C /\ A. y e. ~P C ( (toInc ` y ) e. Dirset -> U. y e. y ) ) -> ( (toInc ` ran F ) e. Dirset -> U. ran F e. ran F ) )
9615, 88, 95syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( (toInc ` ran F ) e. Dirset -> U. ran F e. ran F ) )
9785, 96mpd 15 . . 3 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> U. ran F e. ran F )
98 fvelrnb 6243 . . . 4 |- ( F Fn NN0 -> ( U. ran F e. ran F <-> E. y e. NN0 ( F ` y ) = U. ran F ) )
9919, 98syl 17 . . 3 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( U. ran F e. ran F <-> E. y e. NN0 ( F ` y ) = U. ran F ) )
10097, 99mpbid 222 . 2 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> E. y e. NN0 ( F ` y ) = U. ran F )
10110, 100reximddv 3018 1 |- ( ( C e. (NoeACS ` X ) /\ F : NN0 --> C /\ A. x e. NN0 ( F ` x ) C_ ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> E. y e. NN0 A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( F ` z ) = ( F ` y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  Moorecmre 16242  Dirsetcdrs 16927  toInccipo 17151  NoeACScnacs 37265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152  df-nacs 37266
This theorem is referenced by:  hbt  37700
  Copyright terms: Public domain W3C validator