Theorem relexp1g 13766

Description: A relation composed once is itself. (Contributed by RP, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp1g	|- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )

Proof of Theorem relexp1g

Dummy variables n r x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-relexp 13761	. . 3 |- ^r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) , ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) ) )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( R e. V -> ^r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) , ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) ) ) )
3		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> n = 1 )
4		ax-1ne0 10005	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
5		neeq1 2856	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( n =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
6	4, 5	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> n =/= 0 )
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> n =/= 0 )
8	7	neneqd 2799	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> -. n = 0 )
9	8	iffalsed 4097	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> if ( n = 0 , ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) , ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) ) = ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) )
10		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> r = R )
11	10	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> ( z e. _V |-> r ) = ( z e. _V |-> R ) )
12	11	seqeq3d 12809	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) = seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> R ) ) )
13	12, 3	fveq12d 6197	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) = ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> R ) ) ` 1 ) )
14		1z 11407	. . . 4 |- 1 e. ZZ
15		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> ( z e. _V |-> R ) = ( z e. _V |-> R ) )
16		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) /\ z = 1 ) -> R = R )
17		1ex 10035	. . . . . 6 |- 1 e. _V
18	17	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> 1 e. _V )
19		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> R e. V )
20	15, 16, 18, 19	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> ( ( z e. _V |-> R ) ` 1 ) = R )
21	14, 20	seq1i 12815	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> R ) ) ` 1 ) = R )
22	9, 13, 21	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( R e. V /\ ( r = R /\ n = 1 ) ) -> if ( n = 0 , ( _I |` ( dom r u. ran r ) ) , ( seq 1 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> r ) ) ` n ) ) = R )
23		elex 3212	. 2 |- ( R e. V -> R e. _V )
24		1nn0 11308	. . 3 |- 1 e. NN0
25	24	a1i 11	. 2 |- ( R e. V -> 1 e. NN0 )
26	2, 22, 23, 25, 23	ovmpt2d 6788	1 |- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   1c1 9937   NN0cn0 11292   seqcseq 12801   ^r crelexp 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761

This theorem is referenced by:  dfid5  13767  dfid6  13768  relexpsucr  13769  relexp1d  13771  relexpsucnnl  13772  relexpsucl  13773  relexpcnv  13775  relexprelg  13778  relexpnndm  13781  relexpfld  13789  relexpaddnn  13791  relexpaddg  13793  dfrcl3  37967  relexp2  37969  iunrelexp0  37994  relexpxpnnidm  37995  corclrcl  37999  iunrelexpmin1  38000  trclrelexplem  38003  iunrelexpmin2  38004  relexp01min  38005  relexp0a  38008  relexpaddss  38010  dftrcl3  38012  cotrcltrcl  38017  trclimalb2  38018  trclfvdecomr  38020  dfrtrcl3  38025  corcltrcl  38031  cotrclrcl  38034