Theorem dftrcl3 38012

Description: Transitive closure of a relation, expressed as indexed union of powers of relations. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dftrcl3	|- t+ = ( r e. _V |-> U_ n e. NN ( r ^r n ) )

Distinct variable group:   n, r

Proof of Theorem dftrcl3

Dummy variables k a t s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trcl 13726	. 2 |- t+ = ( r e. _V |-> |^| { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
2		relexp1g 13766	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( r ^r 1 ) = r )
3		nnex 11026	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
4		1nn 11031	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
5		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = t -> ( a ^r n ) = ( t ^r n ) )
6	5	iuneq2d 4547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = t -> U_ n e. NN ( a ^r n ) = U_ n e. NN ( t ^r n ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( t ^r n ) = ( t ^r k ) )
8	7	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ n e. NN ( t ^r n ) = U_ k e. NN ( t ^r k )
9	6, 8	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = t -> U_ n e. NN ( a ^r n ) = U_ k e. NN ( t ^r k ) )
10	9	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) = ( t e. _V |-> U_ k e. NN ( t ^r k ) )
11	10	ov2ssiunov2 37992	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. _V /\ NN e. _V /\ 1 e. NN ) -> ( r ^r 1 ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) )
12	3, 4, 11	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( r ^r 1 ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) )
13	2, 12	eqsstr3d 3640	. . . . . . 7 |- ( r e. _V -> r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) )
14		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15		1nn0 11308	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
16	10	iunrelexpuztr 38011	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. _V /\ NN = ( ZZ>= ` 1 ) /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) )
17	14, 15, 16	mp3an23 1416	. . . . . . 7 |- ( r e. _V -> ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) )
18		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) e. _V
19		trcleq2lem 13730	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( r e. _V -> ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) ) )
21	20	alrimiv 1855	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> A. z ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) ) )
22		elabgt 3347	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) e. _V /\ A. z ( z = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) -> ( ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) ) ) -> ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) e. { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } <-> ( r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) )
23	18, 21, 22	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( r e. _V -> ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) e. { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } <-> ( r C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) /\ ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) o. ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) ) ) )
24	13, 17, 23	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( r e. _V -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) e. { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
25		intss1 4492	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) e. { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> |^| { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( r e. _V -> |^| { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } C_ ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) )
27		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- s e. _V
28		trcleq2lem 13730	. . . . . . . . 9 |- ( z = s -> ( ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( r C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) ) )
29	27, 28	elab 3350	. . . . . . . 8 |- ( s e. { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } <-> ( r C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- NN = NN
31	10	iunrelexpmin1 38000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. _V /\ NN = NN ) -> A. s ( ( r C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s ) )
32	30, 31	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( r e. _V -> A. s ( ( r C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s ) )
33	32	19.21bi 2059	. . . . . . . 8 |- ( r e. _V -> ( ( r C_ s /\ ( s o. s ) C_ s ) -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s ) )
34	29, 33	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( r e. _V -> ( s e. { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s ) )
35	34	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( r e. _V -> A. s e. { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s )
36		ssint 4493	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) C_ |^| { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } <-> A. s e. { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) C_ s )
37	35, 36	sylibr 224	. . . . 5 |- ( r e. _V -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) C_ |^| { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
38	26, 37	eqssd 3620	. . . 4 |- ( r e. _V -> |^| { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) )
39		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( a = r -> ( a ^r n ) = ( r ^r n ) )
40	39	iuneq2d 4547	. . . . 5 |- ( a = r -> U_ n e. NN ( a ^r n ) = U_ n e. NN ( r ^r n ) )
41		eqid 2622	. . . . 5 |- ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) = ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) )
42		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( r ^r n ) e. _V
43	3, 42	iunex 7147	. . . . 5 |- U_ n e. NN ( r ^r n ) e. _V
44	40, 41, 43	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( r e. _V -> ( ( a e. _V |-> U_ n e. NN ( a ^r n ) ) ` r ) = U_ n e. NN ( r ^r n ) )
45	38, 44	eqtrd 2656	. . 3 |- ( r e. _V -> |^| { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = U_ n e. NN ( r ^r n ) )
46	45	mpteq2ia 4740	. 2 |- ( r e. _V |-> |^| { z | ( r C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) = ( r e. _V |-> U_ n e. NN ( r ^r n ) )
47	1, 46	eqtri 2644	1 |- t+ = ( r e. _V |-> U_ n e. NN ( r ^r n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |^|cint 4475   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   t+ctcl 13724   ^r crelexp 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-trcl 13726  df-relexp 13761

This theorem is referenced by:  brfvtrcld  38013  fvtrcllb1d  38014  trclfvcom  38015  cnvtrclfv  38016  cotrcltrcl  38017  trclimalb2  38018  trclfvdecomr  38020  dfrtrcl4  38030  corcltrcl  38031  cotrclrcl  38034